作业帮已知函数f(x)=(x²+ax+a)/x,x∈[1,+∞）,且af(5-2m),m取若函数g(x)=x·f(x)对任意x∈[1,3]时,g(x)+2x+10>0恒成立,求a的取值范围急用、急急急
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/12 03:34:57
已知函数f(x)=(x²+ax+a)/x,x∈[1,+∞）,且af(5-2m),m取若函数g(x)=x·f(x)对任意x∈[1,3]时,g(x)+2x+10>0恒成立,求a的取值范围急用、急急急
已知函数f(x)=(x²+ax+a)/x,x∈[1,+∞）,且af(5-2m),m取
若函数g(x)=x·f(x)对任意x∈[1,3]时,g(x)+2x+10>0恒成立,求a的取值范围
急用、急急急
已知函数f(x)=(x²+ax+a)/x,x∈[1,+∞）,且af(5-2m),m取若函数g(x)=x·f(x)对任意x∈[1,3]时,g(x)+2x+10>0恒成立,求a的取值范围急用、急急急
三问
①证明：f(x)=(x²+ax+a)/x=x+ a/x +a,
当0＜a＜1时,f（x）为一个勾勾函数向上平移所得,可知在x∈[1,+∞）上单调递增
当a=0时,f（x）=x,可知在x∈[1,+∞）上单调递增
当a＜0时,x为一个增函数,a/x（a＜0）为增函数,两者相加后定仍为增函数,且这里定义域没有0的干扰,所以在x∈[1,+∞）上单调递增
综上得f（x）在x∈[1,+∞）上单调递增
LZ也可以用作差法,估计那个更简单.
②3m≥1,5-2m≥1,3m＞5-2m→ 1＜m≤2
③原问题转化为x²+（2+a）x+a+10＞0在x属于【1,3】间恒成立
设f（x）=x²+（2+a）x+a+10,对称轴-（2+a）/2
分类讨论：
Ⅰ-（2+a）/2≤1
f（1）＞0
解得a≥-4
Ⅱ1≤-（2+a）/2≤3
△＜0
解得-6＜a≤-4
Ⅲ-（2+a）/2≥3
f（3）＞0
此时无解
综上得a＞-6
1）令x2>x1>=1得
f(x2)-f(x1)=(x2+a+a/x2)-(x1+a+a/x1)
=(x2-x1)+a(x1-x2)/(x1x2)
=(x2-x1)(x1x2-a)/(x1x2)
由x2>x1>=1，a<1得x2-x1>0,x1x2-a>0.x1x2>0
即f(x2)-f(x1)=(x2-x1)(x1x2-a)/(x1x2)>0
即函...
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1）令x2>x1>=1得
f(x2)-f(x1)=(x2+a+a/x2)-(x1+a+a/x1)
=(x2-x1)+a(x1-x2)/(x1x2)
=(x2-x1)(x1x2-a)/(x1x2)
由x2>x1>=1，a<1得x2-x1>0,x1x2-a>0.x1x2>0
即f(x2)-f(x1)=(x2-x1)(x1x2-a)/(x1x2)>0
即函数单调递增
2）f(3m)>f(5-2m),则3m>=1,5-2m>=1.3m>5-2m
即1
则g(x)+2x+10=x²+(a+2)x+a+10=[x+(a+2)/2]²-(a+2)²/4+a+10
①-(a+2)/2<1即g(x)图像为抛物线对称轴右半段
即a>-4时x=1时有最小值
即g(x)+2x+10>=1+(a+2)+a+10=2a+13>0
故a>-13/2
即此时a>-4为所求
②-(a+2)/2>=1，即a<=-4时g(x)图像可取到抛物线最低点
取得最小值为-(a+2)²/4+a+10
由g(x)+2x+10>0恒成立,即-(a+2)²/4+a+10>0
得36-a²>0即-6
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