谁能给我讲讲数学数列的错位相减发和裂项相消法到底是什么原理

谁能给我讲讲数学数列的错位相减发和裂项相消法到底是什么原理
谁能给我讲讲数学数列的错位相减发和裂项相消法到底是什么原理

谁能给我讲讲数学数列的错位相减发和裂项相消法到底是什么原理
什么原理?不太明白你想问的是什么

错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。 形如An=BnCn，其中Bn为等差数列，Cn为等比数列；分别列出Sn，再把所有式子同时乘以等比数列的公比，即kSn；然后错一位，两式相减即可。
例如：求和Sn=1+3x+5x^2+7x^3+…+(2n-1)*x^(n-1)（x≠0）
当x=1时，Sn=1+3+5+…+(2n-1)=n^2；
当x不等于...

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错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。 形如An=BnCn，其中Bn为等差数列，Cn为等比数列；分别列出Sn，再把所有式子同时乘以等比数列的公比，即kSn；然后错一位，两式相减即可。
例如：求和Sn=1+3x+5x^2+7x^3+…+(2n-1)*x^(n-1)（x≠0）
当x=1时，Sn=1+3+5+…+(2n-1)=n^2；
当x不等于1时，Sn=1+3x+5x^2+7x^3+…+(2n-1)*x^(n-1)；
∴xSn=x+3x^2+5x^3+7x^4+…+(2n-1)*x^n；
两式相减得(1-x)Sn=1+2[x+x^2+x^3+x^4+…+x
例子1：
S=a+2a^2+3a^3+……+(n-2)a^(n-2)+(n-1)a^(n-1)+na^n （1）
在（1）的左右两边同时乘上a。 得到等式（2）如下：
aS= a^2+2a^3+3a^4+……+(n-2)a^(n-1)+(n-1)a^n+na^(n+1) （2）
用（1）-（2），得到等式（3）如下：
（1-a）S=a+(2-1)a^2+(3-2)a^3+……+(n-n+1)a^n-na^(n+1) （3）
（1-a）S=a+a^2+a^3+……+a^(n-1)+a^n-na^(n+1)
S=a+a^2+a^3+……+a^(n-1)+a^n用这个的求和公式。
（1-a）S=a+a^2+a^3+……+a^(n-1)+a^n-na^(n+1)
最后在等式两边同时除以（1-a）,就可以得到S的通用公式了。
例子2：
求和Sn=1+3x+5x^2+7x^3+……..+(2n-1)·x^(n-1)（x不等于0）
当x=1时，Sn=1+3+5+…..+(2n－1)=n^2
当x不等于1时，Sn=1+3x+5x^2+7x^3+……..+(2n-1)·x^(n-1)
所以xSn=x+3x^2+5x^3+7x^4……..+(2n-1)·x^n
所以两式相减的(1－x)Sn=1+2x[1+x+x^2+x^3+...+x^(n-2)]－(2n-1)·x^n
化简得：Sn=(2n-1)·x地n+1次方－(2n+1)·x^n+(1+x)/(1-x)^2
Cn=(2n+1)*2^n
Sn=3*2+5*4+7*8+...+(2n+1)*2^n
2Sn=3*4+5*8+7*16+...+(2n-1)*2^n+(2n+1)*2^(n+1)
两式相减得
-Sn=6+2*4+2*8+2*16+...+2*2^n-(2n+1)*2^(n+1)
=6+2*(4+8+16+...+2^n)-(2n+1)*2^(n+1)
=6+2^(n+2)-8-(2n+1)*2^(n+1) (等比数列求和)
=(1-2n)*2^(n+1)-2
所以Sn=(2n-1)*2^(n+1)+2
例子3：
求等比数列求和公式
Sn= 1/2+1/4+1/8+....+1/2^n
两边同时乘以1/2
1/2Sn= 1/4+1/8+....+1/2^n+1/2^(n+1)(注意跟原式的位置的不同，这样写看的更清楚些）
两式相减
1/2Sn=1/2-1/2^(n+1)
Sn=1-1/2^n
例题1
已知等差数列an中，a1=3，点(an，an+1（角码，后不解释）)在直线y=x+2上
①求数列an的通项公式
②若bn=an×3的n次方，求数列前n项和Tn
①点（an,an+1)在直线y=x+2上，an+1=an+2（2为常数）
即an+1-an=2.所以an是以3为首项，2为公差的等差数列
②bn=an×3^n，bn=(2n+1)×3^n
Tn=3×3+5×3²+7×3³+…+（2n-1)×3的n-1次方+（2n+1)×3^n……一
3Tn=3×3²+5×3³+…+（2n-1)×3的n次方+（2n+1)×3^(n+1)……二
一减二得 9+2×(9(1-3的n-1次方）\1-3)-(2n+1)×3的n+1次方=-2n×3^(n+1)
所以Tn=n×3^(n+1)
故得出结果。
裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。 通项分解（裂项）倍数的关系。
【例1】【分数裂项基本型】求数列an=1/n(n+1) 的前n项和.
an=1/[n(n+1)]=（1/n）- [1/(n+1)]（裂项）
则 Sn=1-(1/2)+(1/2)-(1/3)+(1/3)-(1/4)…+(1/n）- [1/(n+1)]（裂项求和）
= 1-1/(n+1)
= n/(n+1)
【例2】【整数裂项基本型】求数列an=n(n+1) 的前n项和.
an=n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3（裂项）
则 Sn=[1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+……+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3（裂项求和）
= [n(n+1)(n+2)]/3
【例3】1/(1×4)+1/(4×7)+1/(7×10)+……+1/(91×94)使用裂项公式将每个分式展开成两个分数。
原式=1/3 *[（1-1/4）+（1/4-1/7）+（1/7-1/10）+……+（1/91-1/94）]=1/3*(1-1/94)=31/94
常用的裂项
（1）1/[n(n+1)]=（1/n）- [1/(n+1)]
（2）1/[(2n-1)(2n+1)]=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
（3）1/[n(n+1)(n+2)]=1/2{1/[n(n+1)]-1/[(n+1)(n+2)]}
（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)
（5） n·n!=(n+1)!-n!
（6）1/[n(n+k)]=1/k[1/n-1/(n+k)]
（7）1/（√n+√n+1）=√（n+1）-√n
（8）1/（√n+√n+k）=（1/k）·[√（n+k）-√n]

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错位相减是整个式子乘以公比q，用原式减2式，注意用第二项减2式第一项，来找到公因式达到消元的目的。
裂项相消法用于分式，必须分母为乘积。

举个例子：
错位相减法：1/(1*3)+1/(3*5)+...+1/[(2n-1)(2n+1)]
=1/2(1-1/3)+1/2(1/3-1/5)+...+1/[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
=1/2[1-1/(2n+1)]（因为中间项一加一减，消去，只剩下两边项1和1/(2n+1)）
=n/(2n+1)
故错位相减法适用于{1/[(pn+q)(pn...

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举个例子：
错位相减法：1/(1*3)+1/(3*5)+...+1/[(2n-1)(2n+1)]
=1/2(1-1/3)+1/2(1/3-1/5)+...+1/[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
=1/2[1-1/(2n+1)]（因为中间项一加一减，消去，只剩下两边项1和1/(2n+1)）
=n/(2n+1)
故错位相减法适用于{1/[(pn+q)(pn+q+p)]}的求和
裂项相消法：求{n*2^(n-1)}的前n项和
Sn=1*1+【2*2+3*2^2+4*2^3+...+n*2^(n-1)】①
乘以2，可得
2Sn=【1*2+2*2^2+3*2^3+4*2^4+...+(n-1)2^(n-1)】+n*2^n②
我们发现，将②式右边右移一下，与①式项比较，2~2^(n-1)的系数都只差1（见上面方框部分），所以相减可得
-Sn=1*1+【2+2^2+2^3+...+2^(n-1)】-n*2^n
=1+【2^n-2】-n*2^n
=(1-n)2^n-1
所以Sn=(n-1)2^n+1
因此裂项相消法适用于等差数列{pn}与等比数列{qn}之积形成的新数列{pnqn}的求和

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