作业帮函数f：R→R,对任意的实数x,y,只要x+y≠0,就有f(xy)=[f(x)+f(y)]/(x+y) 成立,问的是则函数f(x)(x∈R)的奇偶性如何
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 13:16:08
函数f：R→R,对任意的实数x,y,只要x+y≠0,就有f(xy)=[f(x)+f(y)]/(x+y) 成立,问的是则函数f(x)(x∈R)的奇偶性如何
函数f：R→R,对任意的实数x,y,只要x+y≠0,就有f(xy)=[f(x)+f(y)]/(x+y) 成立,
问的是
则函数f(x)(x∈R)的奇偶性如何
函数f：R→R,对任意的实数x,y,只要x+y≠0,就有f(xy)=[f(x)+f(y)]/(x+y) 成立,问的是则函数f(x)(x∈R)的奇偶性如何
当x≠0,y=0时得到
f(0)=[f(x)+f(0)]/x
即f(x)=(x-1)*f(0)
令x=1得f(1)=0
令x=-1得f(-1)=-2*f(0)
当x=y≠0时
f(x^2)=f(x)/x
即f(x)=x*f(x^2)
用-x代x,f(-x)=-x*(x^2)=-f(x)
∴对于x≠0,有f(-x)=-f(x)
令上式x=1得f(-1)=-f(1)=0
∵f(-1)=-2*f(0)
∴f(0)=0
而当x≠0时,有f(x)=(x-1)*f(0)
∴x≠0时,f(x)=0
而f(0)=0
∴对于任意x∈R,f(x)=0
f(x)=f(-x)=-f(-x)恒成立.
∴f(x)既是奇函数,又是偶函数.
另外,题目条件说f(x)的值域为R,显然是错误的.
所以这个题目有问题.
x=t, y=-1
f（-t）=[f(t)+f(-1)]/(t-1)
x=-t,y=-1
f(t)=[(f(-t)+f(-1)]/(-t-1)
消去f（-t) 得到f（t)
f(t)=-f(-1)/t
所以是奇的
令y=0，代入，
f(0)=（f(x)+f(0))/x
则f(x)=f(0)x+f(0)
显然，f(0）≠0
可知，f(x)为一次函数，为非奇非偶函数
因f(xy)=[f(x)+f(y)]/(x+y)
当y=x≠0,则:
f(x^2)=f(x)/x
f(x)=xf(x^2)
f(-x)=(-x)f((-x)^2)=-xf(x^2)=-f(x)
所以:函数f(x)为奇函数
可以证明f(x)=0，所以既是奇函数又是偶函数.
证明：令y=0，x≠0，代入f(xy)=[f(x)+f(y)]/(x+y)，得
f(x)=f(0)(x-1),x≠0.
所以当x≠0，y≠0，x+y≠0时，
f(xy)=f(0)(xy-1),
[f(x)+f(y)]/(x+y)=f(0)(x+y-2)/(x+y).
由f(xy)=[f(x)+f(y)...
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可以证明f(x)=0，所以既是奇函数又是偶函数.
证明：令y=0，x≠0，代入f(xy)=[f(x)+f(y)]/(x+y)，得
f(x)=f(0)(x-1),x≠0.
所以当x≠0，y≠0，x+y≠0时，
f(xy)=f(0)(xy-1),
[f(x)+f(y)]/(x+y)=f(0)(x+y-2)/(x+y).
由f(xy)=[f(x)+f(y)]/(x+y) ，得
f(0)[xy-1-(x+y-2)/(x+y)]=0恒成立.
只有f(0)=0才能使上式恒成立，
故x=0时，f(x)=f(0)=0；x≠0时，f(x)=f(0)(x-1)=0.
综上所述，f(x)=0，它既是奇函数又是偶函数.
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