一道向量题如图给定一个平行四边形ABCD,以CD边为直径作圆P,MN为圆P任意一条直径,问当直径MN在什么位置时向量AM乘以向量BN取最大值?

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/27 23:48:32

一道向量题如图给定一个平行四边形ABCD,以CD边为直径作圆P,MN为圆P任意一条直径,问当直径MN在什么位置时向量AM乘以向量BN取最大值?
一道向量题
如图给定一个平行四边形ABCD,以CD边为直径作圆P,MN为圆P任意一条直径,问当直径MN在什么位置时向量AM乘以向量BN取最大值?

一道向量题如图给定一个平行四边形ABCD,以CD边为直径作圆P,MN为圆P任意一条直径,问当直径MN在什么位置时向量AM乘以向量BN取最大值?
由于MN是直径, 所以向量PM=-PN.
AM=AP+PM
BN=BP+PN=BP-PM
所以 AM.BN=(AP+PM).(BP-PM)=AP.BP+PM.BP-AP.PM+PM.PM
=AP.BP+PM.(BP-AP)+PM.PM
=AP.BP+PM.AB+PM.PM
AP.BP与M无关;
PM.PM=半径的平方=(|CD|/2)^2, 也是与M无关的常数
而PM.AB当PM与AB同向时取得最大值 (即M与C重合时)
所以AM.BN当M与C重合时最得最大值
AP.BP+PC.AB+(|CD|^2)/4
=AP.BP+(3/4)*|CD|^2

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