作业帮请教一道二项式定理 排列之类的数学证明题证明：1C1/n+2C2/n+3C3/n+……+nCn/n=n*2^(n-1).那个C什么就是前面一个C,后面上面是1,下面是n,n中取1个那个.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 02:05:18
请教一道二项式定理 排列之类的数学证明题证明：1C1/n+2C2/n+3C3/n+……+nCn/n=n*2^(n-1).那个C什么就是前面一个C,后面上面是1,下面是n,n中取1个那个.
请教一道二项式定理 排列之类的数学证明题
证明：1C1/n+2C2/n+3C3/n+……+nCn/n=n*2^(n-1).
那个C什么就是前面一个C,后面上面是1,下面是n,n中取1个那个.
请教一道二项式定理 排列之类的数学证明题证明：1C1/n+2C2/n+3C3/n+……+nCn/n=n*2^(n-1).那个C什么就是前面一个C,后面上面是1,下面是n,n中取1个那个.
(1+x)^n=C(n,0)+C(n,1)x+C(n,2)x^2+C(n,3)x^3+.+C(n,n)x^n
两边取导数
n(1+x)^(n-1)=C(n,1)+2C(n,2)x+3C(n,3)x^2+.+nC(n,n)x^(n-1)
两边令x=1
即得：n*2^(n-1)=C(n,1)+2C(n,2)+3C(n,3)+.+nC(n,n)
（图片可以放大看）
这种题目看都不要看，直接数学归纳法
n=1时，左边=n=右边，成立
设n=k时，该式成立：1C1/k+2C2/k+3C3/k+……+kCk/k=k*2^(k-1)
则当n=k+1时，
对于第i项，C i/(k+1)=C i/k+C(i-1)/k
故iC i/(k+1)=i[C i/k+C(i-1)/k]
注意最后一项不要动,最后一项为k+1
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这种题目看都不要看，直接数学归纳法
n=1时，左边=n=右边，成立
设n=k时，该式成立：1C1/k+2C2/k+3C3/k+……+kCk/k=k*2^(k-1)
则当n=k+1时，
对于第i项，C i/(k+1)=C i/k+C(i-1)/k
故iC i/(k+1)=i[C i/k+C(i-1)/k]
注意最后一项不要动,最后一项为k+1
因此1C1/(k+1)+2C2/(k+1)+...+iC i/(k+1)+……+(k+1)C(k+1)/(k+1)
=(1C1/k+2C2/k+…+kCk/k)+[1C0/k++2C1/k+…+kC(k-1)/k]+（k+1）
=k*2^(k-1)+[1C0/k++2C1/k+…+kC(k-1)/k]+（k+1）
=k*2^(k-1)+[C0/k+C1/k+…+C(k-1)/k]+[C1/k+2C2/k+…+(k-1)C(k-1)/k]+（k+1）
｛ 注意：C0/k+C1/k+…+C(k-1)/k=2^k-1，
C1/k+2C2/k+…+(k-1)C(k-1)/k=k*2^(k-1)-k（即n=k的情况） ｝
=k*2^(k-1)+(2^k-1)+[k*2^(k-1)-k]+(k+1)
=k*2^(k-1)+2^k+k*2^(k-1)
=(k+1)*2^k,得证
故……
写得比较复杂，但都是按你那种写法形式，认真看
收起
利用经典的变换kC(k,n)=nC(k-1,n-1)
则1C(1，n)+2C(2，n)+3C(3，n)+……+nC(n，n)
=nC(0，n-1)+nC(1，n-1)+nC(2，n-1)+nC(n-1，n-1)
=n[C(0，n-1)+C(1，n-1)+C(2，n-1)+C(n-1，n-1)]
=n*2^(n-1)