作业帮证明二次函数f(x)=ax2+bx+c(a小于0）在（负无限大,—b/2a]上是增函数
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/07 08:46:15
证明二次函数f(x)=ax2+bx+c(a小于0）在（负无限大,—b/2a]上是增函数
证明二次函数f(x)=ax2+bx+c(a小于0）在（负无限大,—b/2a]上是增函数
证明二次函数f(x)=ax2+bx+c(a小于0）在（负无限大,—b/2a]上是增函数
f(x)=ax^2+bx+c
f'(x)=2ax+b
令f'(x)=0得x=-b/2a
又因a0,
所以f(x)在(-∞,-b/2a)是增函数
设m
=an^2+bn+c-am^2-bm-c
=a(n-m)(n+m)+b(n-m)
=(n-m)[a(n+m)+b]
因为m<-b/2a,n<-b/2a
所以m+n<-b/2a-b/2a=-b/a
a<0
所以a(m+n)>-b
a(m+n)+b>0
n>m
n-m>0
所以f(n)-f(m)>0
f(n)>f(m)
因为m
导数=2ax+b
x<-b/2a
a<0
2ax>-b
2ax+b>0
导数恒大于0
所以是增函数
方法一（图象法）：二次函数图象为抛物线 (a小于0）则开口向下 ax2+bx+c为抛物线定义式 所以对称轴为—b/2a
根据函数图象性质可知（负无限大，—b/2a]上函数递增即增函数
方法二（导数法）：将原函数求导得导函数为 2ax+b 令导函数大于0可求得递增区间 得2ax大于-b 两边除以2a（a小于0）所以 x小于—b/2a
即（负无限大，—b/2a]上函数递增...
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方法一（图象法）：二次函数图象为抛物线 (a小于0）则开口向下 ax2+bx+c为抛物线定义式 所以对称轴为—b/2a
根据函数图象性质可知（负无限大，—b/2a]上函数递增即增函数
方法二（导数法）：将原函数求导得导函数为 2ax+b 令导函数大于0可求得递增区间 得2ax大于-b 两边除以2a（a小于0）所以 x小于—b/2a
即（负无限大，—b/2a]上函数递增即增函数
方法三（定义法）：设m
=an^2+bn+c-am^2-bm-c
=a(n-m)(n+m)+b(n-m)
=(n-m)[a(n+m)+b]
因为m<-b/2a,n<-b/2a
所以m+n<-b/2a-b/2a=-b/a
a<0
所以a(m+n)>-b
a(m+n)+b>0
n>m
n-m>0
所以f(n)-f(m)>0
f(n)>f(m)
因为m
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