已知：三角形ABC为等腰直角三角形,∠DAE=45°,求证BD、DE、CE三边构成的三角形为直角三角形点D和点E为BC边上的两点,点A为顶点为90°

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/28 04:43:05

已知：三角形ABC为等腰直角三角形,∠DAE=45°,求证BD、DE、CE三边构成的三角形为直角三角形点D和点E为BC边上的两点,点A为顶点为90°
已知：三角形ABC为等腰直角三角形,∠DAE=45°,求证BD、DE、CE三边构成的三角形为直角三角形
点D和点E为BC边上的两点,点A为顶点为90°

已知：三角形ABC为等腰直角三角形,∠DAE=45°,求证BD、DE、CE三边构成的三角形为直角三角形点D和点E为BC边上的两点,点A为顶点为90°
太麻烦,看得眼花缭乱,辛苦辛苦!
首先,B、D、E、C四点顺序不能变,如果是B、D、E、C不可.
方法一、
绕A点旋转三角形ACE 270度,CB重合,D旋转后设为F点,CE=BF,AF=AE
∠EAC+∠BAD=∠BAF+∠BAD=45°,AF=AE,AD=AD
ΔADE≌ΔADF,所以,DF=DE
又,∠ABF=∠ACD=45°
∴ ∠DBF=∠ABF+∠ABD=90°
所以,BD、DE、CE三边构成的三角形为直角三角形
方法二、
分别过A、B两点作AC,BC的垂线,交点为F
∵ ∠FAE=∠BAE+∠BAF=∠BAF+∠EAC=90°
∴ ∠EAC=∠BAF
又ΔABC是等腰直角三角形,∠C=∠ABC=45°
FB⊥BC,所以,∠ABF=45°
又,AB=AC
∴ ΔABF≌ΔACE,即BF=CE,AE=AFAD=AD
∠BAF+∠DAB=∠DAE
∴ ΔADF≌ΔADE
∴ DF=DE
所以,BD、DE、CE三边构成的三角形为直角三角形

证明：过C做CB的垂线l，在三角形外侧过A做直线AN满足角CAN=角BAD，AN
与l交于M点，首先，角ACM=90°-角BCA=45°=角ABD ----（1）
AB=AC -----（2）
角CAM=角BAD -...

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证明：过C做CB的垂线l，在三角形外侧过A做直线AN满足角CAN=角BAD，AN
与l交于M点，首先，角ACM=90°-角BCA=45°=角ABD ----（1）
AB=AC -----（2）
角CAM=角BAD ------（3）
=>三角形ABD全等于三角形ACM
=>CM=BD -------（4）
AM=AD --------（5）
角DAM=角DAC+角CAM=角DAC+角BAD=90°
又角DAE=45° =>角DAE=角EAM --------(6)
AE=AE --------(7)
由（5）（6）（7）可得三角形DAE全等于三角形EAM
=>DE=EM
又角ECM=90°=>即EM,CM,EC构成的三角形为直角三角形
而DE=EM,BD=CM即BD、DE、CE三边构成的三角形为直角三角形
证毕！

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已知：ΔABC为等腰直角三角形，点A为顶点为90°
∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝45°
∵∠DAE＝45°
∴∠BAD＋∠CAE＝90°－45°＝45°
在∠DAE内，过点A作线段AF，使得：AF＝AB，∠DAF＝∠BAD
连接DF、EF
在ΔDAF和ΔDAB中，
AD＝AD（公共）
∠DAF＝∠DAB（作图）
AF＝AB（作图）
∴ΔDAF≌ΔDAB
∴FD＝BD，∠AFD＝∠ABD＝45°………………(1)
∵∠DAF＋∠EAF＝∠DAE＝45°
∴∠EAF＝∠CAE
同理，可证：ΔEAF≌ΔEAC
∴FE＝CE，∠AFE＝∠ACE＝45°………………(2)
∴∠DFE＝∠AFD＋∠AFE＝45°＋45°＝90°
∴ΔDFE是以DF、EF为直角边，以DE为斜边的直角三角形
由(1)和(2)，FD＝BD，FE＝CE，
∴BD、CE和DE三边构成的三角形为直角三角形

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直角三角形

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过D，E做DM⊥CA，EN⊥BA，M，N为垂足
设CD=x,BE=y,DE=z
则DM=x/√2，MA=(y+z)/√2，EN=z/√2，NA=(x+y)/√2
因为∠DAE=45°，所以∠CAD+∠EAB=45°
tan∠CAD+tan∠EAB=tan45°=1
tan∠CAD=MD/MA=x/(y+z),tan∠EAN=EN/AN=z/(y+x)
所以[x/(y+z)+z/(y+x)]/[1-x/(y+z)*z/(y+x)]=1
x/(y+z)+z/(y+x)=1-x/(y+z)*z/(y+x)
x^2+xy+z^2+yz=y^2+xy+yz
x^2+z^2=y^2
所以：CD的平方+BE的平方=DE的平方
所以，BD、DE、CE三边构成的三角形为直角三角形

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