作业帮已知n为正整数,且4^7+4^n+2^3996能写成一个多项式的平方的形式,则n的值为?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 17:57:41
已知n为正整数,且4^7+4^n+2^3996能写成一个多项式的平方的形式,则n的值为?
已知n为正整数,且4^7+4^n+2^3996能写成一个多项式的平方的形式,则n的值为?
已知n为正整数,且4^7+4^n+2^3996能写成一个多项式的平方的形式,则n的值为?
4^7+4^n+2^3996=x^2+2xy+y^2
x=2^7;
y=2^1998;
2xy=2^(1998+7+1)=4^1003; n的值为1003
4^7+4^n+2^3996=2^14+2^2n+2^3996
设2^14+2^2n+2^3996=（2^7+2^x）^2
∵（2^7+2^x）^2=2^14+2×2^7×2^x+2^2x=2^14+2^(8+x)+2^2x
∴2^14+2^2n+2^3996=2^14+2^(8+x)+2^2x
比...
全部展开
4^7+4^n+2^3996=2^14+2^2n+2^3996
设2^14+2^2n+2^3996=（2^7+2^x）^2
∵（2^7+2^x）^2=2^14+2×2^7×2^x+2^2x=2^14+2^(8+x)+2^2x
∴2^14+2^2n+2^3996=2^14+2^(8+x)+2^2x
比较两边的指数，有两种情况
①当8+x=2n时
则2x=3996
∴2n=8+3996/2
2n=8+1998
2n=2006
n=1003
②当8+x=3996时，
2x=2n
∴8+n=3996
n=3988
综合上述，n=1003或3988
收起
4^7+4^n+2^3996
=(2^7)²+4^n+(2^1998)² (*)
由于上式能写成一个多项式的平方的形式，设为
(2^7+2^1998)²，展开得：
(2^7)²+2*2^7*2^1998+(2^1998)²
其中，2*2^7*2^1998=2^2006=(2²)^1003=4^1003
比较(*)式可知n=1003
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