作业帮正四面体边长为6,则该四面体外接球的半径为多少
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/07 04:22:14
正四面体边长为6,则该四面体外接球的半径为多少
正四面体边长为6,则该四面体外接球的半径为多少
正四面体边长为6,则该四面体外接球的半径为多少
正四棱锥有8条棱,棱长为a,底边是正方形,侧面是正三角形.
如果有一个外接球,那么它的球心到正四棱锥5个顶点的距离一定相等,且都是r.
可想而知,这个球心在正四棱锥底面的投影一定是在正方形的中心,(因为要对称).
话分两头说,这个中心和顶点的连线恰是正四棱锥的高h,而且,所谓的球心也一定在这条高上.那个中心(正方形底面的中心)到底面4个顶点的距离均是(√2)a/2,棱长为a,那么和高h组成的直角三角形,可以算出高h=√{a²-[(√2)a/2]²}=√(a²/2)=(√2)a/2.
现在,球心到顶点的距离是r,在刚才的解析的那个直角三角形中,球心把高h那条直角边分成两份,球心到底面的距离l=h-r=(√2)a/2-r,球心、正四棱锥底面的顶点以及底面的中心组成的三角形,斜边长为r(球心到四棱锥底面顶点的距离),直角边分别为(√2)a/2和l=(√2)a/2-r,勾股定理有：
r²=[(√2)a/2]²+[(√2)a/2-r]²
r²=a²/2+a²/2-(√2)ar+r²
a²-(√2)ar=0
a≠0,∴a-(√2)r=0,r=(√2)a/2(这个结果说明正四棱锥外接圆的球心就是底面的中心.)
现在a=6,即r=3根号2
1.5倍根号6
于是乎··这个很难将讲清楚··没图的缘故
那个结论是··
因为是正四面体··所以每个面都是全等的等边三角形
也就形成了一个一个类似甲烷的结构的图形···
两条体高的交点即为球心
证明个过程省略···那个，很难讲清···
我这里有几个要记得小结论···
有肯那个会帮得到LZ
棱长为a的正四面体体高为三分之根号6a
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于是乎··这个很难将讲清楚··没图的缘故
那个结论是··
因为是正四面体··所以每个面都是全等的等边三角形
也就形成了一个一个类似甲烷的结构的图形···
两条体高的交点即为球心
证明个过程省略···那个，很难讲清···
我这里有几个要记得小结论···
有肯那个会帮得到LZ
棱长为a的正四面体体高为三分之根号6a
内切圆半径为体高的四分之一
外切圆半径为体高的四分之三
所以LZ的答案是二分之三根号三
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