求证证算术平均值>调和平均值

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/27 06:24:52

求证证算术平均值>调和平均值
求证证算术平均值>调和平均值

求证证算术平均值>调和平均值
二元的情况:即证:a+b>=2/(1/a+1/b)
证明:a+b-2/(1/a+1/b)=a+b-2ab/(a+b)= {(a+b)^2-4ab} /2(a+b)={(a-b)^2} /2(a+b)>=0
所以a+b>=2/(1/a+1/b)
说明:1.以上的证明就用了先作差,通分后配方.
2.等号成立的条件为a=b
3.三元以上的情况,也可用作差证,但是比较麻烦.可用柯西不等式.实际上对于多元的
算术平均值>=调和平均值,就是柯西不等式的一个推论.这里不作证明.

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