作业帮已知函数f(x)=sinwxcoswx+sin^2wx的最小正周期为兀,（1）求f(兀/4)的值,（2）求函数f(x)的单调增区间,（3）若x属于[0,兀/2],求f(x)的最大值及相应的x值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 20:43:11
已知函数f(x)=sinwxcoswx+sin^2wx的最小正周期为兀,（1）求f(兀/4)的值,（2）求函数f(x)的单调增区间,（3）若x属于[0,兀/2],求f(x)的最大值及相应的x值
已知函数f(x)=sinwxcoswx+sin^2wx的最小正周期为兀,
（1）求f(兀/4)的值,（2）求函数f(x)的单调增区间,（3）若x属于[0,兀/2],求f(x)的最大值及相应的x值
已知函数f(x)=sinwxcoswx+sin^2wx的最小正周期为兀,（1）求f(兀/4)的值,（2）求函数f(x)的单调增区间,（3）若x属于[0,兀/2],求f(x)的最大值及相应的x值
解；
根据二倍角公式：
sin²A = (1-cos2A)/2
2sinAcosA=sin2A
f(x)=(sin2wx)/2+(1-cos2A)/2
=(1/2)(sin2wx-cos2wx)+1/2
=(√2/2)[(√2/2)sin2wx-(√2/2)cos2wx]+1/2
=(√2/2)[cos(-π/4)sin2wx+sin(-π/4)cos2wx]+1/2
=(√2/2)sin(2wx-π/4)+1/2
∵f(x)的最小正周期为：
T= 2π/2w = π
∴w=1
f(x)=(√2/2)sin(2x-π/4)+1/2
（1）
f(π/4)=(√2/2)sin(π/4)+1/2 = 1
（2）
考察y=sinx的单调区间可知：该函数的增区间为：
2kπ-π/2≤x≤2kπ+π/2,k∈Z
因此：
f(x)=(√2/2)sin(2x-π/4)+1/2的增区间为：
2kπ-π/2≤2x-π/4≤2kπ+π/2
即：x∈[kπ-π/4,kπ+3π/4]
（3）
当0≤x≤π/2时：
-π/4≤2x-π/4≤3π/4
因此：2x-π/4=π/2,即：x=3π/8时,f(x)有最大值,且f(3π/8)=(√2+1)/2
f(x)=sinwxcoswx+sinw²x =1/2(sin2wx+1-cos2wx) =1/2(sin<2wx-兀/4>+1) 函数f(x)=sinwxcoswx+sin^2wx的最小正周期为兀， w=1 f(兀/4)=1/2 函数f(x)的单调增区间为(-兀/8+k兀,3兀/8+k兀) f(x)=1,x=3兀/8