已知:三个正整数的和与积相等,求这三个正整数!

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/27 16:21:20

已知:三个正整数的和与积相等,求这三个正整数!
已知:三个正整数的和与积相等,求这三个正整数!

已知:三个正整数的和与积相等,求这三个正整数!
a+b+c=abc
不妨设a≥b≥c
若c≥2那么a≥2,b≥2,所以ab>a+b ,bc>b+c,ac>a+c => abc>(a+b)c>a+b+c
所以c=1
所以ab=a+b+1 => (a-1)(b-1)=2
因为a>b且为正整数
所以a-1=2,b-1=1 =>a=3,b=2,c=1

1+2+3＝1*2*3

因为
1+2+3 =6
1*2*3 = 6
所以这三个正整数是 1，2，3

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严谨的证明过程如下。
abc=a+b+c
c=(a+b)/(ab-1)
设f(a,b)=(a+b)/(ab-1)
则函数对于a的偏导数<0，同理对b的偏导数也<0，
因此c随着a或者b的增加而减小。
当a=1,b=1，时c无法取值
当a=1,b=2，或者a=2,b=1时，c=3
当a=b=2时，c=4/3，不是自然数
而只要a或者b再增加，那么c就会小于4/3，也就是说只能等于1.
而如果c=1，那么a+b=ab-1
a=(1+b)/b-1，仅有当b=2或者b=3时，a可以取为正整数，随着b增大，a只能为一个介于（1,2）之间的数。
这几种情形下可知，这三个正整数均为1，2，3

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