作业帮一道大一线性代数题.在线等.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知a1,a2,a3是它的三个解向量,且a1=(2 3 4 5) , a2+a3=(1 2 3 4) ,求该方程组的解.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/01 09:47:19
一道大一线性代数题.在线等.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知a1,a2,a3是它的三个解向量,且a1=(2 3 4 5) , a2+a3=(1 2 3 4) ,求该方程组的解.
一道大一线性代数题.在线等.
设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知a1,a2,a3是它的三个解向量,且a1=(2 3 4 5) , a2+a3=(1 2 3 4) ,求该方程组的解.
一道大一线性代数题.在线等.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知a1,a2,a3是它的三个解向量,且a1=(2 3 4 5) , a2+a3=(1 2 3 4) ,求该方程组的解.
设线性方程组为Ax=b,因为a1,a2,a3是它的三个解向量,所以有
Aa1=b (1)
Aa2=b (2)
Aa3=b (3)
(1)+(3)可得,再两边同除以2得
A[(a2+a3)/2]=b
于是(a2+a3)/2也是Ax=b的解,
于是A[a1-(a2+a3)/2]=Aa1-A[(a2+a3)/2]=b-b=0.
这说明a1-(a2+a3)/2是Ax=0的解,但a1-(a2+a3)/2＝(3/2,2,5/2,3)不为零,又因为A的秩为3,所以Ax=0的基础解系只有一个解向量,所以a1-(a2+a3)/2＝(3/2,2,5/2,3)就是Ax=0的一个基础解系.
于是原非齐次线性方程组的通解为
k[a1-(a2+a3)/2]+a1=(k3/2+2,k2+3,k5/2+4,k3+5) (4)
当然用(a2+a3)/2 代替(4)中的a1也行.
注意：非齐次线性方程的通解＝齐次线性方程组( 也就是非齐次线性方程组的导出组)的通解+非次齐线性方程组的一个特解.
k[a1-(a2+a3)/2]就是其导出组的通解,a1和(a2+a3)/2 都是非齐次线性方程组的特解.
系数矩阵的秩为3，那么它对应的齐次方程组的解空间就是1维的。
要注意到：非齐次方程组的解空间是齐次方程组的解空间的一个陪集（简单来说，两个解空间的关系就是，齐次方程组的解空间一定通过原点，而非齐次方程组的解空间相对于它平移了一下。）
所以马上就可以找到一个基础解系：
=(1/2)(a2+a3)-a1
=(0.5，1，1.5， 2)-(2,3,4,5)
=-(...
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系数矩阵的秩为3，那么它对应的齐次方程组的解空间就是1维的。
要注意到：非齐次方程组的解空间是齐次方程组的解空间的一个陪集（简单来说，两个解空间的关系就是，齐次方程组的解空间一定通过原点，而非齐次方程组的解空间相对于它平移了一下。）
所以马上就可以找到一个基础解系：
=(1/2)(a2+a3)-a1
=(0.5，1，1.5， 2)-(2,3,4,5)
=-(1.5，2，2.5，3)。
所以非齐次方程组的解
=基础解系+特解
=k(1.5，2，2.5，3)+a1。
其中k是任意F中元素
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