作业帮(23 17:36:38)已知直线与抛物线y^2=2px（p＞0）交于A,B两点,O为坐标原点,且OA⊥OB,OD⊥AB交AB于点D,点D的坐标为（2,1）,求p的值.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 10:35:56
(23 17:36:38)已知直线与抛物线y^2=2px（p＞0）交于A,B两点,O为坐标原点,且OA⊥OB,OD⊥AB交AB于点D,点D的坐标为（2,1）,求p的值.
(23 17:36:38)
已知直线与抛物线y^2=2px（p＞0）交于A,B两点,O为坐标原点,且OA⊥OB,OD⊥AB交AB于点D,点D的坐标为（2,1）,求p的值.
(23 17:36:38)已知直线与抛物线y^2=2px（p＞0）交于A,B两点,O为坐标原点,且OA⊥OB,OD⊥AB交AB于点D,点D的坐标为（2,1）,求p的值.
（方法一）
因为OD⊥AB所以k(OD)*k(AB)=-1则k(AB)=-2
因此AB:y=5-2x
与抛物线方程联立：y^=(5-2x)^=2px
得4x^-(20+2p)x+25=0
所以xAxB=25/4,xA+xB=(10+p)/2
yAyB=(5-2xA)(5-2xB)=25-10(xA+xB)+4xAxB=-5p
又OA⊥OB即(xA,yA)*(xB,yB)=0
所以xAxB+yAyB=0=25/4-5p
可得p=5/4
（方法二）设A B的坐标分别是(2pt1^2,2pt1),(2pt2^2,2pt2)
则OA OB的斜率分别是1/t1,1/t2
因为OD⊥AB,所以t1*t2=-1
由D为(2,1)知道OD斜率是1/2,所以AB的斜率是-2
即1/(t1+t2)=-2,t1+t2=-1/2
AB直线的斜率=AD直线的斜率,即1/(t1+t2)=(2pt1-1)/(2pt1^2-2)
2pt1^2-2=2pt1^2-t1+2pt1*t2-t2
即t1+t2=2pt1*t2+2
把前面的结果代入得-1/2=2p(-1)+2,p=5/4
OD斜率为1/2，所以AB斜率为-2。AB过D点，所以AB方程y=-2x+5.设A：(a^2/2p,a),B(b^2/2p,b),两个横纵坐标分别乘一起再一加应该是0，再加上AB的方程，三个方程三个未知数，解出来就行了。
因为OD垂直于AB，所以这两条直线的斜率乘积为-1，因为OD斜率为1/2，所以AB斜率为-2。
设AB方程为y=-2x+b,因为D（2，1）在此直线上，所以1=-2*2+b,求得b=5
AB方程为y=-2x+5
将该方程与抛物线方程y²=2px联立,消去x
得y²+py-5p=0
因为有两交点，Δ=p²+20p>0,因为已知p>...
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因为OD垂直于AB，所以这两条直线的斜率乘积为-1，因为OD斜率为1/2，所以AB斜率为-2。
设AB方程为y=-2x+b,因为D（2，1）在此直线上，所以1=-2*2+b,求得b=5
AB方程为y=-2x+5
将该方程与抛物线方程y²=2px联立,消去x
得y²+py-5p=0
因为有两交点，Δ=p²+20p>0,因为已知p>0,所以恒成立。
根据韦达定理，设A（x1,y1),B(x2,y2)
y1*y2=-5p
A，B在抛物线上，x1=y1²/2p,x2=y2²/2p
x1*x2=(y1*y2)²/(4p²)=25/4
因为OA⊥OB
所以x1*x2+y1*y2=0
25/4-5p=0
p=5/4
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