作业帮两道关于基本不等式求最值的问题1.若a,b都是正整数,且满足a^2+b^2=a+b,则a+b的最大值为?2.若a^2+b^2=1,x^2+y^2=4,则ax+by的最大值为?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/12 06:31:41
两道关于基本不等式求最值的问题1.若a,b都是正整数,且满足a^2+b^2=a+b,则a+b的最大值为?2.若a^2+b^2=1,x^2+y^2=4,则ax+by的最大值为?
两道关于基本不等式求最值的问题
1.若a,b都是正整数,且满足a^2+b^2=a+b,则a+b的最大值为?
2.若a^2+b^2=1,x^2+y^2=4,则ax+by的最大值为?
两道关于基本不等式求最值的问题1.若a,b都是正整数,且满足a^2+b^2=a+b,则a+b的最大值为?2.若a^2+b^2=1,x^2+y^2=4,则ax+by的最大值为?
一、
解法一：
(a+b)^2=a^2+b^2+2ab ≤ a^2+b^2+a^2+b^2=2(a^2+b^2)=2(a+b)
(a+b)^2 ≤ 2(a+b)
(a+b)^2 - 2(a+b) ≤ 0
0≤a+b≤2
解法二：
a^2+b^2=a+b
a^2-a+b^2-b=0
(a-1/2)^2+(b-1/2)^2=1/4+1/4 ①
这是一个以（1/2,1/2）为圆心,(根号2)/2为半径的圆,
（x轴为a轴,y轴为b轴,即是把a看作x,b看作y）,
令z=a+b,b=-a+z ②
这是一个线性规划的问题
当直线与圆的右上方相交时,z最大
②带入①有：2x^2-2kx+k^2-k=0
△=0,z=0（舍）或z=2
故a+b的最大值为2
二、
ax+by
=2a(x/2)+2b(y/2)
≤a^2+(x/2)^2 + b^2+(y/2)^2
=a^2+b^2+(x^2)/4+(y^2)/4
=1+1
=2
1. 记t=a+b>0, t²=(a+b)²=a²+b²+2ab≤2(a²+b²)=2(a+b)=2t. 所以t≤2. 而a=b=1时t=2, 故t最大值2.
2. (ax+by)²=a²x²+b²y²+2(ay)(bx)≤a²x²+b²y²...
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1. 记t=a+b>0, t²=(a+b)²=a²+b²+2ab≤2(a²+b²)=2(a+b)=2t. 所以t≤2. 而a=b=1时t=2, 故t最大值2.
2. (ax+by)²=a²x²+b²y²+2(ay)(bx)≤a²x²+b²y²+a²y²+b²x²=(a²+b²)(x²+y²)=4, 所以ax+by≤2.
当a=b=1/√2, x=y=√2时，ax+by=2. 故ax+by的最大值为2.
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