作业帮积分表 求一个积分公式的推导过程dx/(a^2+x^2)^n的积分
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/27 21:34:10
积分表 求一个积分公式的推导过程dx/(a^2+x^2)^n的积分
积分表
求一个积分公式的推导过程
dx/(a^2+x^2)^n的积分
积分表 求一个积分公式的推导过程dx/(a^2+x^2)^n的积分
当n>1时.
记Pn=∫dx/(a^2+x^2)^n,Pn-1=∫dx/(a^2+x^2)^(n-1),前者n-1为脚标.
Pn-1=∫dx/(a^2+x^2)^(n-1) 利用分部积分可得到：
=x/(a^2+x^2)^(n-1)-∫x*d[1/(a^2+x^2)^(n-1)]
=x/(a^2+x^2)^(n-1)-∫x*(1-n)*(a^2+x^2)^(-n)*2xdx
=x/(a^2+x^2)^(n-1)+2(n-1)∫x^2dx/(a^2+x^2)^n
=x/(a^2+x^2)^(n-1)+2(n-1)∫[1/(x^2+a^2)^n-a^2/(x^2+a^)^n]dx
=x/(a^2+x^2)^(n-1)+2(n-1)(Pn-1-a^2Pn)
可得到：
Pn-1=x/(a^2+x^2)^(n-1)+2(n-1)(Pn-1-a^2Pn)
pn=x/[2a^2(n-1)(x^2+a^2)^(n-1)]+(2n-3)pn-1/[2a^2(n-1)].
其实在高等数学书上应该有的。你可以去看看。可以设积分为In,则把I（n-1)用分步积分表示成I（n）的形式，得到递推公式，反复迭代即可。
所求积分为In则I(n-1)利用分部积分有
I(n-1)=x*[(x^2+a^2)^(1-n)]-Sx*d[(x*x+a*a)]^(1-n)
=x*[(x^2+a^2)^(1-n)]-2S(x*x)/[(x*x+a*a)]^ndx
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其实在高等数学书上应该有的。你可以去看看。可以设积分为In,则把I（n-1)用分步积分表示成I（n）的形式，得到递推公式，反复迭代即可。
所求积分为In则I(n-1)利用分部积分有
I(n-1)=x*[(x^2+a^2)^(1-n)]-Sx*d[(x*x+a*a)]^(1-n)
=x*[(x^2+a^2)^(1-n)]-2S(x*x)/[(x*x+a*a)]^ndx
=x*[(x^2+a^2)^(1-n)]-2*S(1/{[(x*x+a*a)]^(n-1)}-(a*a)/[x*x+a*a]^ndx
=x*[(x^2+a^2)^(1-n)]-2*I(n-1)+2*a*a*In
这就是迭代公式，在n给出具体值时可以求出积分值。
收起
你都有表了，把那个结果求导一下不就验证了。
1.dx/(a^2+x^2)^n=[1/(a^2+x^2)]^ndx=[1/(a^2+x^2)]^(n-1)darctanx
用udv=uv-vdu，
反复做
2.其实在高等数学书上应该有的。你可以去看看。可以设积分为In,则把I（n-1)用分步积分表示成I（n）的形式，得到递推公式，反复迭代即可。
所求积分为In则I(n-1)利用分部积分有
I(n...
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1.dx/(a^2+x^2)^n=[1/(a^2+x^2)]^ndx=[1/(a^2+x^2)]^(n-1)darctanx
用udv=uv-vdu，
反复做
2.其实在高等数学书上应该有的。你可以去看看。可以设积分为In,则把I（n-1)用分步积分表示成I（n）的形式，得到递推公式，反复迭代即可。
所求积分为In则I(n-1)利用分部积分有
I(n-1)=x*[(x^2+a^2)^(1-n)]-Sx*d[(x*x+a*a)]^(1-n)
=x*[(x^2+a^2)^(1-n)]-2S(x*x)/[(x*x+a*a)]^ndx
=x*[(x^2+a^2)^(1-n)]-2*S(1/{[(x*x+a*a)]^(n-1)}-(a*a)/[x*x+a*a]^ndx
=x*[(x^2+a^2)^(1-n)]-2*I(n-1)+2*a*a*In
这就是迭代公式，在n给出具体值时可以求出积分值。
收起
dx/(a^2+x^2)^n=[1/(a^2+x^2)]^ndx=[1/(a^2+x^2)]^(n-1)darctanx
用udv=uv-vdu，
反复做