数列的柯西准则怎么证

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 20:59:05

数列的柯西准则怎么证
数列的柯西准则怎么证

数列的柯西准则怎么证
柯西准则：
数列收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数ε,存在着这样的正整数N,使得当m>N,n>N时就有|Xn-Xm|0,存在正整数k,使得任意m>N,都有：
|X(k+1)-Xm|

这个涉及实数系的完备性（实际上就是完备性的定义），只能用其他几个完备性的等价定理来推导。
首先证明有界数列必有收敛子列。
这个只需要把有界的区域不断二等分，每次选含有无穷多个元素的一半，然后再二等分，再选有无穷多元素的一半，从而利用闭区间套定理就可以了。
然后用这个可以证明柯西收敛准则。
首先柯西列必然有界，那么有收敛子列。记极限为A。利用cauchy列定义可以证明...

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这个涉及实数系的完备性（实际上就是完备性的定义），只能用其他几个完备性的等价定理来推导。
首先证明有界数列必有收敛子列。
这个只需要把有界的区域不断二等分，每次选含有无穷多个元素的一半，然后再二等分，再选有无穷多元素的一半，从而利用闭区间套定理就可以了。
然后用这个可以证明柯西收敛准则。
首先柯西列必然有界，那么有收敛子列。记极限为A。利用cauchy列定义可以证明数列收敛到A。（分为A到子列元素距离，以及子列元素与原数列元素距离两部分足够小即可）

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