作业帮求证：两底角平分线相等的三角形是等腰三角形要图!最好给出多种方法.这道题太经典了.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/13 16:06:20
求证：两底角平分线相等的三角形是等腰三角形要图!最好给出多种方法.这道题太经典了.
求证：两底角平分线相等的三角形是等腰三角形
要图!最好给出多种方法.这道题太经典了.
求证：两底角平分线相等的三角形是等腰三角形要图!最好给出多种方法.这道题太经典了.
法1：间接证明
已知,△ABC中,BD,CE是角平分线,若BD=CE,
求证:AB=AC
证明:设AB<AC,则∠ABC>∠ACB,(同一三角形中,大角对大边)
从而∠ABD>∠ACE.
在∠ABD内作∠DBF=∠ACE,
则在△FBC中,∠FBC>∠FCB,
得:FB<FC.
在CF上取CH=BF,过H作HK∥BF交CE于K,
在△BFD和△CHK中,
BF=CH,∠BFD=∠CHK,∠FBD=∠HCK
∴△BFD≌△CHK
∴BD=CK<CE,与已知BD=CE矛盾.
又若AB>AC,同理可得BD>CE,也与BD=CE矛盾
∴AB=AC
法2：直接证明
两底角平分线相等的三角形是等腰三角形
作∠BEF=∠BCD;并使EF=BC
∵BE=DC
∴△BEF≌△DCB,BF=BD,∠BDC=∠EBF
设∠ABE=∠EBC=α,∠ACD=∠DCB=β
∠FBC=∠BDC+α=180°-2α-β+α=180°-(α+β);
∠CEF=∠FEB+∠CEB=β+180-2β-α=180°-(α+β);
∴∠FBC=∠CEF
∵2α+2β<180°,∴α+β<90°
∴∠FBC=∠CEF>90°
∴过C点作FB的垂线和过F点作CE的垂线必都在FB和CE的延长线上.
设垂足分别为G、H;
∠HEF=∠CBG;
∵BC=EF,
∴Rt△CGB≌Rt△FHE
∴CG=FH,BG=HE
连接CF
∵CF=FC,FH=CG
∴Rt△CGF≌△FHC
∴FG=CH,∴BF=CE,∴CE=BD
∵BD=CE,BC=CB,∴△BDC≌△CEB
∴∠ABC=∠ACB
∴AB=AC