作业帮一道难的初中数学压轴题如图,点P是双曲线 上一动点,过点P作x轴、y轴的垂线,分别交x轴、y轴于A、B两点,交双曲线y= （0＜k2＜|k1|）于E、F两点．（1）图1中,四边形PEOF的面积S1= (用含k1、k2的式
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/19 03:38:29
一道难的初中数学压轴题如图,点P是双曲线 上一动点,过点P作x轴、y轴的垂线,分别交x轴、y轴于A、B两点,交双曲线y= （0＜k2＜|k1|）于E、F两点．（1）图1中,四边形PEOF的面积S1= (用含k1、k2的式
一道难的初中数学压轴题
如图,点P是双曲线 上一动点,过点P作x轴、y轴的垂线,分别交x轴、y轴于A、B两点,交双曲线y= （0＜k2＜|k1|）于E、F两点．
（1）图1中,四边形PEOF的面积S1= (用含k1、k2的式子表示)；
（2）图2中,设P点坐标为（－4,3）．
①判断EF与AB的位置关系,并证明你的结论；
②记 ,S2=S△PEF-S△OEF是否有最小值?若有,求出其最小值；若没有,请说明理由.
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一道难的初中数学压轴题如图,点P是双曲线 上一动点,过点P作x轴、y轴的垂线,分别交x轴、y轴于A、B两点,交双曲线y= （0＜k2＜|k1|）于E、F两点．（1）图1中,四边形PEOF的面积S1= (用含k1、k2的式
（1)k2-k1 … ………………………………3分
（2）①EF∥AB． ……………………………………4分
证明：如图,由题意可得A（–4,0）,B（0,3）,E（-4,-k2/4） ,F（k2/3,3） ．
∴PA=3,PE= ,PB=4,PF= k2/3+4．
∴ PA/PE=12/（12+k）, PB/PF=12/（12+k）,
∴ PA/PE=PB/PF． ………………………… 6分
又∵∠APB=∠EPF．
∴△APB ∽△EPF,∴∠PAB=∠PEF．
∴EF∥AB． …………………………… 7分
②S2没有最小值,理由如下：
过E作EM⊥y轴于点M,过F作FN⊥x轴于点N,两线交于点Q．
由上知M（0,-k2/4 ）,N（ k2/3,0）,Q（ k2/3, -k2/4）． ……………… 8分
而S△EFQ= S△PEF,
∴S2＝S△PEF－S△OEF＝S△EFQ－S△OEF＝S△EOM＋S△FON＋S矩形OMQN
=1/12*(k2+6)2-3 ． ………………………… 10分
当 k2＞-6时,S2的值随k2的增大而增大,而0＜k2＜12． …………… 11分
∴0＜S2＜24,s2没有最小值． …………………………… 12分
说明：1．证明AB∥EF时,还可利用以下三种方法．方法一：分别求出经过A、B两点和经过E、F两点的直线解析式,利用这两个解析式中x的系数相等来证明AB∥EF；方法二：利用 ＝ 来证明AB∥EF；方法三：连接AF、BE,利用S△AEF＝S△BFE得到点A、点B到直线EF的距离相等,再由A、B两点在直线EF同侧可得到AB∥EF．
2．求S2的值时,还可进行如下变形：
S2＝ S△PEF－S△OEF＝S△PEF－（S四边形PEOF－S△PEF）＝2 S△PEF－S四边形PEOF,再利用第（1）题中的结论．