设数列{an}的前n项和为Sn,且方程x平方-anx-an=0有一根为Sn-1n=1,2,3,…….,求S1,S2,S3,猜想并证明Sn的通项公式

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/28 21:29:54

设数列{an}的前n项和为Sn,且方程x平方-anx-an=0有一根为Sn-1n=1,2,3,…….,求S1,S2,S3,猜想并证明Sn的通项公式
设数列{an}的前n项和为Sn,且方程x平方-anx-an=0有一根为Sn-1
n=1,2,3,…….,求S1,S2,S3,猜想并证明Sn的通项公式

设数列{an}的前n项和为Sn,且方程x平方-anx-an=0有一根为Sn-1n=1,2,3,…….,求S1,S2,S3,猜想并证明Sn的通项公式
∵数列{a[n]}的前n项和为S[n],且方程x^2-a[n]x-a[n]=0有一根为S[n]-1
∴(S[n]-1)^2-a[n](S[n]-1)-a[n]=0
当n=1时：
∵(S[1]-1)^2-a[1](S[1]-1)-a[1]=0
(a[1]-1)^2-a[1](a[1]-1)-a[1]=0
a[1]^2-2a[1]+1-a[1]^2+a[1]-a[1]=0
a[1]=1/2
∴S[1]=a[1]=1/2
当n=2时：
∵(S[2]-1)^2-a[2](S[2]-1/2)-a[2]=0
(a[2]+S[1]-1)^2-a[2](a[2]+S[1]-1)-a[2]=0
(a[2]-1/2)^2-a[2](a[2]-1/2)-a[2]=0
a[2]^2-a[2]+1/4-a[2]^2+a[2]/2-a[2]=0
3a[2]/2=1/4
a[2]=1/6
∴S[2]=a[1]+a[2]=1/2+1/6=2/3
当n=3时：
∵(S[3]-1)^2-a[3](S[3]-1/2)-a[3]=0
(a[3]+S[2]-1)^2-a[3](a[3]+S[2]-1)-a[3]=0
(a[3]-1/3)^2-a[3](a[3]-1/3)-a[3]=0
a[3]^2-2a[3]/3+1/9-a[3]^2+a[3]/3-a[3]=0
4a[3]/3=1/9
a[3]=1/12
∴S[3]=a[1]+a[2]+a[3]=1/2+1/6+1/12=3/4
猜想：S[n]=n/(n+1)
证明：
∵(S[n]-1)^2-a[n](S[n]-1)-a[n]=0
(S[n]-1)^2-(S[n]-S[n-1])(S[n]-1)-(S[n]-S[n-1])=0
S[n]^2-2S[n]+1-S[n]^2+S[n]+S[n]S[n-1]-S[n-1]-S[n]+S[n-1]=0
-2S[n]+1+S[n]S[n-1]=0
2S[n]-S[n]S[n-1]=1
∴S[n]=1/(2-S[n-1])
用不动点法：x=1/(2-x),得：x=1
∵S[n]-1=1/(2-S[n-1])-1=(S[n-1]-1)/(2-S[n-1])
1/(S[n]-1)=(2-S[n-1])/(S[n-1]-1)=1/(S[n-1]-1)-1
1/(S[n]-1)-1/(S[n-1]-1)=-1
∴{1/(S[n]-1)}是首项为1/(S[1]-1)=-2,公差为-1的等差数列
即：1/(S[n]-1)=-2-(n-1)=-n-1
S[n]-1=-1/(n+1)
∴S[n]=n/(n+1)