作业帮已知函数f(x)=x^3+bx^2+cx的导函数的图像关于直线x=2对称(1)求b的值（2）若f（x）在x=t处取得最小值,记此最小值为g(t),求g(t)的定义域
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 12:57:12
已知函数f(x)=x^3+bx^2+cx的导函数的图像关于直线x=2对称(1)求b的值（2）若f（x）在x=t处取得最小值,记此最小值为g(t),求g(t)的定义域
已知函数f(x)=x^3+bx^2+cx的导函数的图像关于直线x=2对称
(1)求b的值
（2）若f（x）在x=t处取得最小值,记此最小值为g(t),求g(t)的定义域
已知函数f(x)=x^3+bx^2+cx的导函数的图像关于直线x=2对称(1)求b的值（2）若f（x）在x=t处取得最小值,记此最小值为g(t),求g(t)的定义域
(1)对f(x)求导数得 f’（x）=3x²+2bx+c
因为f’（x）图像关于直线x=2对称.所以对任意x∈R必有f’（x）=f’（4-x）成立.即3x²+2bx+c=3x²+x（-24-2b)+48+8b+c
对比系数得 b=-6
（2）由（1）得f’（x）=3x²-12x+c
因为f（x）有最小值,由因为x∈R,所以f（x）只有一个极值点.即△=144-12c=0 c=12
代回去求得极值点为x=2=t
所以g(t)的定义域{2}
（1）由f(x)=x^3+bx^2+cx得 f’(x)=3x^2+2bx+c 其对称轴为x=-b/3，所以-b/3=2，b=-6.
（2）f(x) 在x=t处取得极小值
则f'(x)=3x^2-12x+c =0中△=144-12c=12(12-c)>0 所以c<12.
由f’(x)=3x^2-12x+c =0得, x=2±√(4-c/3).
所以 f(x)在x=...
全部展开
（1）由f(x)=x^3+bx^2+cx得 f’(x)=3x^2+2bx+c 其对称轴为x=-b/3，所以-b/3=2，b=-6.
（2）f(x) 在x=t处取得极小值
则f'(x)=3x^2-12x+c =0中△=144-12c=12(12-c)>0 所以c<12.
由f’(x)=3x^2-12x+c =0得, x=2±√(4-c/3).
所以 f(x)在x=2+√(4-c/3处取得极小值， 因此t=2+√(4-c/3)，该式可化为c=12-3(t-2)^2，
所以 g(t)=f(t)= t^3-6t^2+ct=t^3-6t^2+[12-3(t-2)^2]t= -2t^3+6t^2， 其中t∈(2,+∞)
由g(t)=-2t^3+6t^2得 g’(t)= -6t^2+12t=-6t(t-2),
所以t∈(2,+∞) 恒有g’(t)<0， 即g(t)在(2,+∞) 上为减函数，所以g(t)
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