作业帮已知a,b,c为正实数,求证(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)大于等于9,没有a+b+c=1这一条件
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/10 08:41:38
已知a,b,c为正实数,求证(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)大于等于9,没有a+b+c=1这一条件
已知a,b,c为正实数,求证(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)大于等于9,没有a+b+c=1这一条件
已知a,b,c为正实数,求证(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)大于等于9,没有a+b+c=1这一条件
(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)
=(a+b+c)/a+(a+b+c)/b+(a+b+c)/c
=1+(b+c)/a+1(a+c)/b+1(a+b)/c
=3+b/c+c/b+a/c+c/a+a/b+b/a
>=3+2+2+2=9
均值定理：
a+b+c≥3³√abc
(1/a+1/b+1/c)≥3³√1/abc
原式≥9³√abc×1/abc=9
得证
1.已知a,b,c属于正实数,求证bc/a+ac/b+ab/c大于等于a+b+c.
bc/a+ac/b+ab/c≥a+b+c.
将上式两边同时乘以2，那么
2bc/a+2ac/b+2ab/c≥2a+2b+2c.
由已知ab≤[（a+b）/2]^2,可以得出a^2+b^2≥2ab
所以bc/a+ac/b≥2c
bc/a+ab/c≥2b
...
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1.已知a,b,c属于正实数,求证bc/a+ac/b+ab/c大于等于a+b+c.
bc/a+ac/b+ab/c≥a+b+c.
将上式两边同时乘以2，那么
2bc/a+2ac/b+2ab/c≥2a+2b+2c.
由已知ab≤[（a+b）/2]^2,可以得出a^2+b^2≥2ab
所以bc/a+ac/b≥2c
bc/a+ab/c≥2b
ac/b+ab/c≥2a
将以上三式相加，即可得到结论，所以得证
2.已知a,b,c属于正实数,且a+b+c=1,求证1/a+1/b+1/c大于等于9
1/a+1/b+1/c
=(a+b+c)/a+(a+b+c)/b+(a+b+c)/c
=1+(b+c)/a+1(a+c)/b+1(a+b)/c
=3+b/c+c/b+a/c+c/a+a/b+b/a （由于b/a+a/b>=2，c/a+a/c>=2，c/b+b/c>=2）
>=3+2+2+2
=9
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