已知某数列的前n项和Sn=(3^n-2^n)/2^n,求证该数列是等比数列

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/28 16:48:38

已知某数列的前n项和Sn=(3^n-2^n)/2^n,求证该数列是等比数列
已知某数列的前n项和Sn=(3^n-2^n)/2^n,求证该数列是等比数列

已知某数列的前n项和Sn=(3^n-2^n)/2^n,求证该数列是等比数列
Sn=(3^n-2^n)/2^n=3ⁿ/2ⁿ-1=(3/2)ⁿ-1
当n=1时,a1=S1=3/2-1=1/2
当n≥2时,
an=Sn-S(n-1)
=[(3/2)ⁿ-1]-[(3/2)^(n-1)-1]
=(3/2)ⁿ-(3/2)^(n-1)
=3/2*(3/2)^(n-1)-(3/2)^(n-1)
=1/2*(2/3)^(n-1)
当n=1时上式成立
∴n∈N*时总有an=1/2*(3/2)^(n-1)
那么a(n+1)/an=[(1/2)*(3/2)^n]/[(1/2)*(3/2)^(n-1)]=3/2
∴{an}是等比数列

n=1时,S1=a1=1/2
n>=2时,an=Sn-Sn-1=1/3*(3/2)^n
证明an为等比数列即可

Sn=(3/2)^n-1
S(n-1)=(3/2)^(n-1)-1 n>=2
an=Sn-S(n-1)=(3/2)^n-1-((3/2)^(n-1)-1)
=(3/2)^n-(3/2)^(n-1)
=1/2*(3/2)^(n-1)
n=1 S1=a1=1/2 也满足
所以 an=1/2*(3/2)^(n-1)
则数列为首项a1=1/2 公比q=3/2 的等比数列

sn+1=(3^n+1-2^n+1)/2^n+1;
sn=(3^n-2^n)/2^n
所以，an+1=sn+1-sn=(3^n+1-2^n+1)/2^n+1-(3^n-2^n)/2^n=（3/2)^n+1-(3/2)^n=(3/2)^n(3/2-1)=1/2*(3/2)^n，所以，｛an｝是等比数列

已知数列an的前n项和Sn,求数列的通项公式.(1)Sn=3n²-n (2)Sn=2n+1 已知an=5n(n+1)(n+2)(n+3),求数列{an}的前n项和Sn 已知数列AN的前N项和SN,SN=2N^2+3n+2,求an 已知数列的前n项和sn满足2sn-3an+2n=0(n 已知数列an的前n项和为Sn,且An=3^n+2n,则Sn等于已知数列{an}的前n项和为Sn,an+Sn=2,（n 已知数列{an}的前n项和为Sn=n^2-3n,求证：数列{an}是等差数列已知数列Cn=(2n-1)*3^(n-1),求该数列的前n项和Sn 已知数列{An}的前n项和Sn=3n²-2n,证明数列{An}为等差数列已知数列{an}满足an=2n/3^n,求此数列的前n项和sn 1.已知数列an的前n项和为Sn,且Sn=2^n,求通项an；2.已知数列an的前n项和为Sn,且Sn=n^2+3n,求通项an；已知数列{an}的前n项和sn=3+2^n,则an等于? 已知数列（an）的前n项和Sn=3+2^n,求an 已知数列{αn}的前n项和Sn=2a-3求通项公式已知某数列的前n项和Sn=(3^n-2^n)/2^n,求证该数列是等比数列已知数列的前n项和Sn=n²+2n 求an 已知数列an的前n项和为sn,且sn+an=n^2+3n+5/2,证明数列{an-n}是等比数列已知数列Cn=（4n-2）/3^n,求前n项和Sn