作业帮学过伽罗瓦理论的请进,我的难题对你可能很简单引理3的证明中的一个等式.设M/K是有限可分扩张,M=K(a1,...,ar),N为K在M上的正规闭包,任意 f 属于Gal(N/K),则有f (K(a1,...,ar))=K(f(a1),...,f(ar)).作者是直
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/08 03:24:27
学过伽罗瓦理论的请进,我的难题对你可能很简单引理3的证明中的一个等式.设M/K是有限可分扩张,M=K(a1,...,ar),N为K在M上的正规闭包,任意 f 属于Gal(N/K),则有f (K(a1,...,ar))=K(f(a1),...,f(ar)).作者是直
学过伽罗瓦理论的请进,我的难题对你可能很简单
引理3的证明中的一个等式.设M/K是有限可分扩张,M=K(a1,...,ar),N为K在M上的正规闭包,任意 f 属于Gal(N/K),则有f (K(a1,...,ar))=K(f(a1),...,f(ar)).
作者是直接用,理应很简单,可是我就是不能严谨地推导出来.
条件有误，给予补充；N为M在K上的正规闭包，M/K有根式扩张。
学过伽罗瓦理论的请进,我的难题对你可能很简单引理3的证明中的一个等式.设M/K是有限可分扩张,M=K(a1,...,ar),N为K在M上的正规闭包,任意 f 属于Gal(N/K),则有f (K(a1,...,ar))=K(f(a1),...,f(ar)).作者是直
任意a属于f (K(a1,...,ar)),有b属于K(a1,...,ar),a=f (B),由《近世代数引论》P102定理1,存在多项式g,h 属于K[ x1,...,xr]使得b=g(a1,...,1r)/h(a1,...,ar),因为f是同构,由同构的性质有
a=f(b)=f(g(a1,...,ar)/h(a1,...,ar))=f(g(a1,...,ar))/f(h(a1,...,ar))=g(f(a1),...,f(ar)))/h(f(a1),...,f(ar)),
再由《近世代数引论》P102定理1可知,上式右边属于K(f(a1),...,f(ar))
所以 f (K(a1,...,ar))包含于K(f(a1),...,f(ar)).
因为K(a1,...,ar))包含域K和元素a1,...,ar,所以f (K(a1,...,ar))包含f(K)t和f(a1),...,f(ar),因为f是K自同构,所以f(K)=K,从而f (K(a1,...,ar))包含K和f(a1),...,f(ar),而K(f(a1),...,f(ar))是包含K和f(a1),...,f(ar)的最小的域,从而f (K(a1,...,ar))包含K(f(a1),...,f(ar)).
结合上面所证,由集合相等的定义,有f (K(a1,...,ar))等于K(f(a1),...,f(ar)).
证毕.
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