作业帮如图,AB为⊙O的直径,直线MN交⊙O于C、D两点AE⊥MN,BF⊥MN垂足分别为E、F 求证：CE=DF,OE=OF
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 15:43:04
如图,AB为⊙O的直径,直线MN交⊙O于C、D两点AE⊥MN,BF⊥MN垂足分别为E、F 求证：CE=DF,OE=OF
如图,AB为⊙O的直径,直线MN交⊙O于C、D两点AE⊥MN,BF⊥MN垂足分别为E、F 求证：CE=DF,OE=OF
如图,AB为⊙O的直径,直线MN交⊙O于C、D两点AE⊥MN,BF⊥MN垂足分别为E、F 求证：CE=DF,OE=OF
证明：
作OG⊥CD于G
则CG=DG
过E点作EN//AB,交GO的延长线于M,交FB的延长线于N
∵AE⊥CD,BF⊥CD,OG⊥CD
∴AE//OG//BF
∴四边形AEMG和OMNB均是平行四边形
∴EM=AO,MN=OB
∵AO=OB
∴EM=MN
∵MG//NF
∴EM/MN=EG/GF
∴EG=GF
∴CE=DF
∵EG=GF,OG⊥EF,即OG是EF的垂直平分线
∴OE=OF
延长BF交圆与G点，连接AC,连接DG,连接BD,连接AG，连接AD，因为∠ACD=∠ABD,∠ABD+∠BAD=90°，∠ACD+∠CAF=90°，所以∠CAF=∠BAD,因为∠BAD=∠BDG,所以∠CAF=∠BDG,因为AE⊥MN,BF⊥MN，所以AE∥BG,所以∠EAB=∠ABG,因为∠GAD=∠GBD,∠GBD+∠ABG+∠BAD=90°，所以∠GAE=90°，所以AG∥CD,因为AE∥...
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延长BF交圆与G点，连接AC,连接DG,连接BD,连接AG，连接AD，因为∠ACD=∠ABD,∠ABD+∠BAD=90°，∠ACD+∠CAF=90°，所以∠CAF=∠BAD,因为∠BAD=∠BDG,所以∠CAF=∠BDG,因为AE⊥MN,BF⊥MN，所以AE∥BG,所以∠EAB=∠ABG,因为∠GAD=∠GBD,∠GBD+∠ABG+∠BAD=90°，所以∠GAE=90°，所以AG∥CD,因为AE∥GF,所以AE=GF,所以△ACE≌△GFD,所以CE=DF.
因为OC=OD,所以∠OCD=∠ODC,因为OC=OD,∠OCD=∠ODC,CE-DF,所以△OCE≌△ODF,所以OE=OF.希望你能看懂。
收起
取CD中点M，连结OM， ∵AE⊥MN，BF⊥MN， ∴AE//BF，且四边形ABEF是直角梯形， ∵CM=MD， ∴OM⊥CD，（弦心距性质）， ∴OM//AE//BF， ∵O是AB中点， ∴OM是梯形ABFE的中位线， ∴EM=FM， ∴EM-CM=MF-MD， ∴CE=DF。 ∵CO=DO=R， EC=DF， ∵△OCD是等腰△， OC=OD， ∴〈OCD=〈ODC， ∴〈OCE=〈ODF，（其补角亦相等）， ∴△ECO≌△FDO，（SAS）， ∴OE=OF。