设f(x)=log3[√(x^2+1)-x]求证其定义域为R

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/04 06:02:46

设f(x)=log3[√(x^2+1)-x]求证其定义域为R
设f(x)=log3[√(x^2+1)-x]
求证其定义域为R

设f(x)=log3[√(x^2+1)-x]求证其定义域为R
要使f(x)=log3[√(x^2+1)-x]有意义则
√(x^2+1)-x>0
∴√(x^2+1)>x
当x≤0时,√(x^2+1)>x恒成立
当X>0时,则x^2+1>x^2
则1>0显然成立
综上可得X∈R

若函数有意义
需保证
1)x^2+1>或=0
无需证明
2)√(x^2+1)-x >0
即√(x^2+1) >x
首先x<0时√(x^2+1) >或=0>x
其次x=0时√(x^2+1)=1 >x
再次x >0时√(x^2+1)>=0
而《√(x^2+1)》^2=x^2+1>x^2
故√(x^2+1)=1 >x

定义域√(x^2+1)-x>0
√(x^2+1)>x
若x<0,因为√(x^2+1)>0
所以不等式成立
若x>=0
√(x^2+1)>x>=0
平方
x^2+1>x^2
1>0
肯定成立
所以√(x^2+1)-x>0恒成立
所以定义域是R