作业帮关于椭圆内三角形的面积如图,椭圆的方程为:(x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)=1,a为椭圆的长轴,b为椭圆的短轴.设椭圆的两交点为F1、F2,且|P(F1)|+|P(F2)|=2a.且P(F1)与P(F2)的夹角为α.请问如何证明三角形P(F1)(F2)的
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 06:19:18
关于椭圆内三角形的面积如图,椭圆的方程为:(x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)=1,a为椭圆的长轴,b为椭圆的短轴.设椭圆的两交点为F1、F2,且|P(F1)|+|P(F2)|=2a.且P(F1)与P(F2)的夹角为α.请问如何证明三角形P(F1)(F2)的
关于椭圆内三角形的面积
如图,椭圆的方程为:(x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)=1,a为椭圆的长轴,b为椭圆的短轴
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设椭圆的两交点为F1、F2,且|P(F1)|+|P(F2)|=2a.且P(F1)与P(F2)的夹角为α.
请问如何证明三角形P(F1)(F2)的面积等于b^2×tan(α/2).
关于椭圆内三角形的面积如图,椭圆的方程为:(x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)=1,a为椭圆的长轴,b为椭圆的短轴.设椭圆的两交点为F1、F2,且|P(F1)|+|P(F2)|=2a.且P(F1)与P(F2)的夹角为α.请问如何证明三角形P(F1)(F2)的
设∠PF1F2=β ∠PF2F1=γ
由正弦定理得|PF1|/sinγ=|PF2|/sinβ=|F1F2|/sin(β+γ)
∴sin(β+γ)/(sinβ+sinγ)=|F1F2|/(|PF1|+|PF2|)=2c/2a=c/a
∴c/a={2sin[(β+γ)/2]cos[(β+γ)/2]}/{2sin[(β+γ)/2]cos[(β-γ)/2]}
化简得：
c/a=cos[(β+γ)/2]/cos[(β-γ)/2]
由余弦定理：|PF1|²+|PF2|²-2|PF2||PF1|cosα=|F1F2|²
∴(|PF1|+|PF2|)²-2(1+cosα)|PF2||PF1|=|F1F2|²
即|PF2||PF1|=4（a²-c²)/[2(1+cosα)]=2b²/(1+cosα)
∴S=1/2|PF2||PF1|sinα=1/2*[2b²/(1+cosα)]sinα=b²tan(α/2)