求二次积分

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 04:16:40

求二次积分
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求二次积分
原式=[∫(0,2π)(cosφ)^2dφ][∫(0,R)ρ^3√(R^2-ρ^2)dρ]
对∫(0,2π)(cosφ)^2dφ
∫(0,2π)(cosφ)^2dφ=4(1/2)(π/2)=π
对∫(0,R)ρ^3√(R^2-ρ^2)dρ
令ρ=Rsinθ
∫(0,R)ρ^3√(R^2-ρ^2)dρ=R^5∫(0,π/2)(sinθ)^3(cosθ)^2dθ
R^5∫(0,π/2)[(sinθ)^3-(sinθ)^5]dθ=R^5[(2/3)-(4/5)(2/3)]= (2R^5)/15
故
原式=[∫(0,2π)(cosφ)^2dφ][∫(0,R)ρ^3√(R^2-ρ^2)dρ]=π(2R^5)/15=(2πR^5)/15

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