已知a,b为正实数,求证:(a+b)×(1/a+1/b)≥4

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/28 00:20:28

已知a,b为正实数,求证:(a+b)×(1/a+1/b)≥4
已知a,b为正实数,求证:(a+b)×(1/a+1/b)≥4

已知a,b为正实数,求证:(a+b)×(1/a+1/b)≥4
证:
(a+b)(1/a+1/b)
=1+a/b+b/a+1
=2+a/b+b/a
a>0,b>0
由均值不等式,得:a/b+b/a≥2 (当a/b=b/a时,即a=b时,取等号)
2+a/b+b/a≥2+2=4
(a+b)(1/a+1/b)≥4

直接把a,b乘进去 得到2+a/b+b/a 然后由于a,b都是正数 用均值不等式可得2+a/b+b/a ≥2+2根号(a/b*b/a)=4 不懂可追问

(a+b)×(1/a+1/b)=1+a/b+b/a+1=2+a/b+b/a≥2+2√a/b*b/a=4

(a+b)大于等于2倍的根号ab;同理(1/a+1/b)大于等于两倍的根号1/ab
2倍的根号ab*两倍的根号1/ab大于等于4