对于集合A,B,证明A∪B=A∩B是A=B的充要条件

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/28 20:27:24

对于集合A,B,证明A∪B=A∩B是A=B的充要条件
对于集合A,B,证明A∪B=A∩B是A=B的充要条件

对于集合A,B,证明A∪B=A∩B是A=B的充要条件
A∩B=B→A∪B=A
任取a∈A
∴a∈A∪B
∴A包含于A∪B;
任取a∈A∪B,
a∈A或a∈B
若a∈B,则a∈A∩B,则a∈A,
∴A∪B包含于A,
∴A=A∪B
证:A∩B包含于B
证:B包含于A∩B
任取a∈B,则a∈A∪B,即a∈A,
∴a∈B,且a∈A∴a∈A∩B
∴B包含于A∩B
∴B=A∩B
综上所述,即所证.

A∪B=A∩B=>A=B
AA∪B=A∩B<=A=B
A=B=AnB=AuB

若A=B,显然有A∪B=A∩B
若A∪B=A∩B,则A包含于A∩B,B包含于A∩B,因而A包含于B,且B包含于A,因而A=B