求证：等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/03 23:00:41

求证：等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高
求证：等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高

求证：等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高
这是一道常见的几何证明问题,难度不大,但很经典,证明方法也很多.
已知：等腰三角形ABC中,AB＝AC,BC上任意点D,DE⊥AB,DF⊥AC,BH⊥AC
求证： DE＋DF＝BH
证法一：
连接AD
则△ABC的面积＝AB*DE/2＋AC*DF/2＝(DE＋DF)*AC/2
而△ABC的面积＝BH*AC/2
所以：DE＋DF＝BH
即：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于腰上的高
证法二：
作DG⊥BH,垂足为G
因为DG⊥BH,DF⊥AC,BH⊥AC
所以四边形DGHF是矩形
所以GH＝DF
因为AB＝AC
所以∠EBD＝∠C
因为GD//AC
所以∠GDB＝∠C
所以∠EBD＝∠GDB
又因为BD＝BD
所以△BDE≌△DBG（ASA）
所以DE＝BG
所以DE＋DF＝BG＋GH＝BH
证法三：
提示：
过B作直线DF的垂线,垂足为M
运用全等三角形同样可证
另外运用三角函数也能进行证明

可用面积法。
设腰长为1，等腰三角形底边上任一点到两腰的距离分别为h1、h2
一腰上的高h
等腰三角形面积S=1/2*1*h1+1/2*1*h2=1/2（h1+h2）
等腰三角形面积S=1/2*1*h=1/2*h
h=h1+h2
证毕。

设等腰△ABC，AB=AC=x，
AB或AC上的高=h，
P是底边BC上任意一点，
过P点分别作AB、AC的垂线，
垂足为E、F点，
连接AP，
则△ABC面积=△ABP面积＋△ACP面积
=½x×PE＋½x×PF=½xh，
∴PE＋PF=h。

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