已知f(x)在(-∞,+∞)内连续,且f(x)=∫(0→2x)f(1/2t)dt,则f '(x),先问f(1/2t)dt要将f(1/2t)里的1/2t看成是u变为 2du 那原式是变为 f(x)=2∫(0→2x)f(u)du ,在求导吗,那就等于 4f(x),但答案是2f(x).

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/15 03:25:53

已知f(x)在(-∞,+∞)内连续,且f(x)=∫(0→2x)f(1/2t)dt,则f '(x),先问f(1/2t)dt要将f(1/2t)里的1/2t看成是u变为 2du 那原式是变为 f(x)=2∫(0→2x)f(u)du ,在求导吗,那就等于 4f(x),但答案是2f(x).
已知f(x)在(-∞,+∞)内连续,且f(x)=∫(0→2x)f(1/2t)dt,则f '(x),先问f(1/2t)dt要将f(1/2t)里的1/2t看成是u变为 2du 那原式是变为 f(x)=2∫(0→2x)f(u)du ,在求导吗,那就等于 4f(x),但答案是2f(x).

已知f(x)在(-∞,+∞)内连续,且f(x)=∫(0→2x)f(1/2t)dt,则f '(x),先问f(1/2t)dt要将f(1/2t)里的1/2t看成是u变为 2du 那原式是变为 f(x)=2∫(0→2x)f(u)du ,在求导吗,那就等于 4f(x),但答案是2f(x).
很简单,有求变上限积分的求导公式
d/dx ∫(a→x) ƒ(t) dt = ƒ(x)
于是直接用公式就可以了
ƒ(x) = ∫(0→2x) ƒ(t/2) dt
ƒ'(x) = (2x)' • ƒ((2x)/2)
= 2ƒ(x)
通常,如果被积函数里面没有x的话,就可以直接用公式
如果有x的话,多数要用换元法,大致有两种形式
第一种是被积函数里和x有乘除关系,或无法抽出积分号外的,ƒ(xt)或ƒ(x/t)或ƒ(x² - t²)等
则d/dx ∫(0→x) ƒ(xt) dt,由于x在被积函数里又无法抽出积分号外,需要换元u = xt,du = x dt
于是等于d/dx ∫(0→x²) ƒ(u) • 1/x du = d/dx (1/x)∫(0→x²) ƒ(u) du,再用导数乘法则可以了
另一种虽然被积函数和x可能有乘除关系,但可以抽出到积分号外,例如(x - t)ƒ(t)等
则d/dx ∫(0→x) (x - t)ƒ(t) dt
= d/dx [∫(0→x) xƒ(t) dt - ∫(0→x) tƒ(t) dt]
= d/dx [x∫(0→x) ƒ(t) dt] - d/dx [∫(0→x) tƒ(t) dt]
如果用你那种换元法的话可未尝不可以
令u = t/2则du = 1/2 dt
t = 0,u = 0
t = 2x,u = 2x/2 = x
则d/dx ∫(0→2x) ƒ(t/2) dt
= d/dx ∫(0→x) ƒ(u) • 2 du
= 2 • d/dx ∫(0→x) ƒ(u) du
= 2ƒ(x)

将1/2t换成u后，u的范围是(0，x)，所以，原式变为f(x)＝2∫(0→x)f(u)du，再两边求导，答案就是2f(x)。

是f(1/2t)还是f(1/(2t))，若是f(1/2t),则答案是2f(x),
若是f[1/(2t)],则答案是2f[1/(4x)]

急求：已知f(x)在(-∞,+∞)内连续,且f(x)=∫(0→2x)f(1/2t)dt,则f '(x),的问题急求：已知f(x)在(-∞,+∞)内连续,且f(x)=∫(0→2x)f(1/2t)dt,则f '(x),先问f(1/2t)dt要将f(1/2t)里的1/2t看成是u变为 2du 吗,那原式是设F（x)=(f(x)-f(a))/(x-a),(x>a)其中f(x)在[a,+∞）上连续,f''(x)在（a,+∞)内存在且大于0,求证F（x)在（a,+∞)内单调递增. 微积分若f(x)在（-∞,+∞）内连续,且lim f（x)存在,则f(x)必在（-∞,+∞）x→∞内有界 f(x)在(-∞,+∞)内连续,且limx→∞f（x）存在,证明f(x)在(-∞,+∞)内有界 f(x)在（a,b)内连续且a< x1 若f(x)在(-∞,+∞)内有一阶连续导数且f(0)=0,则当A=?时,g(x)=f(x)/x,x≠0；A,x=0在(-∞,+∞)内连续已知函数f(x)在(-∞,+∞)上连续且满足∫(0,x)f(x-u)e^udu=sinx,x∈(-∞,+∞),求f(x) 若f(x)在(a,+∞)内连续可导,当x>0,f'(x) 设f(x)在(0,+∞)内连续,且f(1)=0,f(x)=xe^-x+1/x∫(x,0)f(t)dt,则f(x)= 已知f(x)在(-∞,+∞)内连续,且f(x)=∫(0→2x)f(1/2t)dt,则f '(x),先问f(1/2t)dt要将f(1/2t)里的1/2t看成是u变为 2du 那原式是变为 f(x)=2∫(0→2x)f(u)du ,在求导吗,那就等于 4f(x),但答案是2f(x). 数学函数极限和连续题1、设f(x)满足f(x1+x2)=f(x1)f(x2),所有x1,x2属于（-∞,+∞）,若f(x)在x=0处连续,且f(0)不为零,证明f(x)在（-∞,+∞）内连续2、已知a>0,X0>0,Xn+1=1/2（Xn + a/Xn)其中n=0、1、2...求lim Xn . 证明:若函数f(x) 在（－∞,＋∞）内连续,且limf(x) 存在,则f(x) 必在（－∞,＋∞）内有界. 设函数f(x)在(﹣∞,﹢∞)内连续,且f[f(x)]=x,证明在(﹣∞,﹢∞)内至少有一个x0满足f(x0)=x0 设函数f(x)在(﹣∞,﹢∞)内连续,且f[f(x)]=x,证明在(﹣∞,﹢∞)内至少有一个x0满足f(x0)=x0 若f(x)在(a,+∞)内连续可导,当x>0,f'(x)0,f'(x) f(x)在[0,+∞)上有二阶连续导数,且f''(x)≥a>0,f(0)=0,f'(0) 已知f(x)在(-∞,+∞)内连续,f(0)=1,设F(x)= sinx到x^2对f(t)的积分则F(0)的导数证明设f(x)在有限开区间(a,b)内连续,且f(a+) ,f(b-)存在,则f(x)在(a,b)上一致连续.