作业帮数学有关不等式与数列的综合问题已知数列{an}的通项公式为an=n/(n+1),设Sn是其前n项和,求证：Sn
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/13 06:57:19
数学有关不等式与数列的综合问题已知数列{an}的通项公式为an=n/(n+1),设Sn是其前n项和,求证：Sn
数学有关不等式与数列的综合问题
已知数列{an}的通项公式为an=n/(n+1),设Sn是其前n项和,
求证：Sn
数学有关不等式与数列的综合问题已知数列{an}的通项公式为an=n/(n+1),设Sn是其前n项和,求证：Sn
这题之前应有一个证明ln(1+x)=0时,ln(1+x)0,所以f(x)在[0,+∞)上是增函数
所以f(x)>=f(0)=0
即x-ln(1+x)>=0
所以ln(1+x)
Sn=1-1/2+1-1/3+...+1-1/(n+1)=n-∑(1/n+1)
1/(n+1)>ln(1+1/(n+1))=ln((n+2)/(n+1))
∴∑(1/n+1)>∑ln((n+2)/(n+1))=ln∏(n+2)/(n+1)=ln((n+2)/2)>ln((n+2)/n)
(n>2)
故原式得证
当n<=2时结论是显然的
注：∑为求和∏为求积，上下限不好写，省略了
证明:
因为数列的极限为1,所以an<1,Sn
也就是说只要n=1时,Sn
全部展开
证明:
因为数列的极限为1,所以an<1,Sn
也就是说只要n=1时,Sn
收起
下面用数学归纳法证明：
（1）当n=1时，上述不等式显然成立
（2）假设当n=k（k>=1）不等式成立
则当n=k+1时，Sn+1=Sn+an+1
从而Sn+1
全部展开
下面用数学归纳法证明：
（1）当n=1时，上述不等式显然成立
（2）假设当n=k（k>=1）不等式成立
则当n=k+1时，Sn+1=Sn+an+1
从而Sn+1
所以不等式成立
收起
an
=n/（n+1）
=[(n+1)-1]/(n+1)
=1-[1/(n+1）]
则:Sn
=a1+a2+....+an
=1/2+2/3+3/4+...+n/(n+1)
=(1-1/2)+(1-1/3)+...+(1-1/n+1)
=n-[1/2+1/3+....+1/（n+1)]
所以欲证Sn < n-ln[(n+...
全部展开
an
=n/（n+1）
=[(n+1)-1]/(n+1)
=1-[1/(n+1）]
则:Sn
=a1+a2+....+an
=1/2+2/3+3/4+...+n/(n+1)
=(1-1/2)+(1-1/3)+...+(1-1/n+1)
=n-[1/2+1/3+....+1/（n+1)]
所以欲证Sn < n-ln[(n+2)/2]
即证1/2+1/3+...+1/(n+1)>ln[(n+2)/2]
也即1/2+1/3+...+1/(n+1)-ln[(n+2)/2]>0
令y=f(x)=1/2+1/3+...+1/(n+1)-ln[(n+2)/2]
所以y'=1/(n+1)^2-1/(n+2)
令y'=0,
可解得n=(-1+根号5)/2或(-1-根号5)/2
然后讨论y的单调性.
当n>(-1+根号5)/2,y'>0,所以y递增
因为1>(-1+根号5)/2,所以n>=1时,y递增
也就是说,y>=f(1)=1/2-ln1.5>0始终成立
即1/2+1/3+...+1/(n+1)-ln[(n+2)/2]>0始终成立
所以Sn < n-ln[(n+2)/2]
收起