作业帮多重积分的应用,重谢!
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/27 23:39:06
多重积分的应用,重谢!
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D: x^2+y^2=ax, 即 r=acost, 0≤r≤acost, -π/2≤t≤π/2.
曲面 z=±√(a^2-x^2-y^2), 则
dS=√[1+(z')^2+(z')^2]dxdy=adxdy/√(a^2-x^2-y^2)
=ardrdt/√(a^2-r^2),
由对称性,曲面有相同的2块,得
S = 2∫∫√[1+(z')^2+(z')^2]dxdy
= 2∫∫adxdy/√(a^2-x^2-y^2)
因D关于x轴对称,积分函数是y的偶函数,则
S = 4∫dt∫ardr/√(a^2-r^2)
= 2a∫dt∫[-d(a^2-r^2)]/√(a^2-r^2)
= 2a∫dt[-2√(a^2-r^2)]
= 4a^2∫（1-sint）dt
=4a^2[t+cost] = 4a^2(π/2-1) = 2(π-2)a^2.