作业帮曲线积分和曲面积分时,不是能用曲线和曲面方程带入积分函数简化吗?曲线积分和曲面积分时,不是能用曲线和曲面方程带入积分函数简化吗,如果这样的话,第二类封闭曲面积分比如对dxdy积分
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/13 06:47:50
曲线积分和曲面积分时,不是能用曲线和曲面方程带入积分函数简化吗?曲线积分和曲面积分时,不是能用曲线和曲面方程带入积分函数简化吗,如果这样的话,第二类封闭曲面积分比如对dxdy积分
曲线积分和曲面积分时,不是能用曲线和曲面方程带入积分函数简化吗?
曲线积分和曲面积分时,不是能用曲线和曲面方程带入积分函数简化吗,如果这样的话,第二类封闭曲面积分比如对dxdy积分用曲面方程化成xy的函数对dydz化成yz的函数,同理dzdx化成zx的函数,这样一用高斯公式求偏导不都是0吗?格林公式有同样的疑惑,不知道关键错在哪了,对了,还有一个问题,关于斯托克斯公式,边界曲线所围的曲面不止一个啊,化成曲面积分时结果不影响吗
曲线积分和曲面积分时,不是能用曲线和曲面方程带入积分函数简化吗?曲线积分和曲面积分时,不是能用曲线和曲面方程带入积分函数简化吗,如果这样的话,第二类封闭曲面积分比如对dxdy积分
我来回答你,是将曲线或者曲面的边界代入被积函数,比如球面方程 x²+y²+z²=a²（注意：这是球面方程,而非实心球体的方程,除非是x²+y²+z²≦a²,才是球体方程） 是将a²代入被积式..
举例 ,曲面积分 ∫∫（x²+y²+z²）dxdy =a²∫∫dxdy
再举一个曲面积分例子∫∫x²dydz + y²dzdx + z² dxdy (积分区域为球面 x²+y²+z²=a²外侧) 按照你说的意思就是∫∫x²dydz + y²dzdx + z² dxdy = （这一步的时候已经将曲面积分转化为了二重积分了,只是多了一个正负号和双值函数的区别）∫∫（a²-z²-y²）dydz +（a²-x²-z²）dzdx + (a²-x²-y²)dxdy 再用高斯公式,这样是错误的.
事实上,这一题目可以用先高斯公式∫∫x²dydz + y²dzdx + z² dxdy 分别对x²、y²、z²求导数,直接转化为三重积分,最后用三重积分的对称性结果为0 .还可以对∫∫x²dydz + y²dzdx + z² dxdy 使用轮换对称性=3∫∫x²dydz （由被积式和积分曲面的特点考虑）=3×2∫∫（a²-x²-y²）（±）dydz =0（这里将z²=a²-x²-y²代入,意思就是对xy坐标面进行有向投影,分为上下两个半球,上半球取正号,下半球去负号,所以结果为0）.懂了吧
看不懂你的问题。
如果在第二个例子中加上（被积函数）除以x²+y²+z²,此时可以直接用a²代替，岂不是说明有矛盾了，还是说不能用a²直接代入，求高手解答
曲线积分（曲面积分）可以用曲线（曲面）函数化简被积函数。用格林公式或高斯公式时，第一步要严格应用公式，当然要先求导。一般能应用到格林公式或高斯公式的场合，都要自己创造公式条件，添加辅助线（面）使区域闭合，在整个区域应用公式后，还要减去辅助线（面）上的单独的曲线积分（曲面积分），这时才用到化简被积函数。...
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曲线积分（曲面积分）可以用曲线（曲面）函数化简被积函数。用格林公式或高斯公式时，第一步要严格应用公式，当然要先求导。一般能应用到格林公式或高斯公式的场合，都要自己创造公式条件，添加辅助线（面）使区域闭合，在整个区域应用公式后，还要减去辅助线（面）上的单独的曲线积分（曲面积分），这时才用到化简被积函数。
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