作业帮∑（1/n-ln(1+1/n)）n∈【1,+∞）,收敛还是发散
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/27 21:18:49
∑（1/n-ln(1+1/n)）n∈【1,+∞）,收敛还是发散
∑（1/n-ln(1+1/n)）n∈【1,+∞）,收敛还是发散
∑（1/n-ln(1+1/n)）n∈【1,+∞）,收敛还是发散
据幂级数展开公式
ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+...+(-1)^(n-1)x^n/n
x∈(-1,1)
x=1/n
显然,1/n>ln(1+1/n)
1/n-ln(1+1/n)>0,且
1/n-ln(1+1/n)=1/n-1/n+(1/n)^2/2-((1/n)^3/3+(1/n)^4/4-...
所以,
[1/n-ln(1/n)]/(1/n)^2=1/2-(1/n)/3+(1/n)^2/4-...
n→+∞,[1/n-ln(1+1/n)]/(1/n)^2→1/2≠0
收敛
答：
原式
=1/1+1/2+1/3+...+1/n-(ln(1+1/1)+ln(1+1/2)+...+ln(1+1/n))
当n趋向正无穷时，1/1+1/2+...+1/n=lnn
=lnn-(ln(2/1)+ln(3/2)+...+ln((n+1)/n))
=lnn-(ln((2/1)*(3/2)*(4/3)...*(n+1)/n))
=lnn-ln(n+1)
=ln(n/(n+1))
递增且有界，无限趋近于ln1=0
所以原级数收敛。
数那么小，感觉是收敛的。