作业帮设M=｛a l a=x²-y²,x,y∈Z｝.求证：(1)2k-1∈M(其中k∈Z) (2)4k-2不属于M（其中k∈Z)（3）属于M的两个整数,其积是否仍属于M?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 16:25:15
设M=｛a l a=x²-y²,x,y∈Z｝.求证：(1)2k-1∈M(其中k∈Z) (2)4k-2不属于M（其中k∈Z)（3）属于M的两个整数,其积是否仍属于M?
设M=｛a l a=x²-y²,x,y∈Z｝.求证：(1)2k-1∈M(其中k∈Z) (2)4k-2不属于M（其中k∈Z)
（3）属于M的两个整数,其积是否仍属于M?
设M=｛a l a=x²-y²,x,y∈Z｝.求证：(1)2k-1∈M(其中k∈Z) (2)4k-2不属于M（其中k∈Z)（3）属于M的两个整数,其积是否仍属于M?
1、
a是奇数时
a=1×a
a=(x+y)(x-y)
则令x-y=1
x+y=a
x=(a+1)/2,y=(a-1)/2
a是奇数则a+1和a-1是偶数
所以他一定有整数解
所以所有的奇数都属于M
即2k-1∈M
2、
a=(x+y)(x-y)
因为x+y和x-y都是奇数或都是偶数
a是偶数时
则x+y和x-y都是偶数
即x+y=2m,x-y=2n
所以a=4mn,是4的倍数
而4k-2除以4余2,不是4的倍数
所以4k-2不属于M
3、
a=x²-y²
b=p²-q²
则ab=x²p²-x²q²-p²y²+q²y²
=(x²p²+2xypq+q²y²)-(x²q²+2xypq+p²y²)
=(xp+yq)²-(xp-yq)²
即仍是平方差
所以其积仍属于M
1)A=[1,3]
B=(1,a)
A⊇B
则1
①a=1时，B为空集，合题意
②a>1时，同上题，a<=3
③a<1时，B=(a,1),a>=1，a无解。
综上1
由题意A⊇B
所以a+1和2a-1都在[-2,5]内即可
解得a∈[-1/2,3]
1.2k-1=(k-1)^2-k^2
2.a=x²-y²=(x+y)*(x-y)且是偶数
x,y是同奇，偶数，a被4整除。
4k-2（k∈Z）不属于M
3.属于M的两个整数，其积仍属于M
[x²-y²]*[a^2-b^2]=a2x2-x2b2-y2a2+y2b2
=(ax+by)^2-(bx+ay)^2
a=x²-y²＝(x+y）(x-y)
令x＝k，y＝k－1
则a＝2k-1
故2k-1∈M
（2）令(x+y）(x-y)＝4k－2为偶数
则x+y与x-y中必有一个为偶数
则x,y同为奇数或同为偶数，但这样一来，x+y与x-y均为偶数
则(x+y）(x-y)必为4的倍数，而4k-2不是4的倍数，矛盾。故假设不成立。
全部展开
a=x²-y²＝(x+y）(x-y)
令x＝k，y＝k－1
则a＝2k-1
故2k-1∈M
（2）令(x+y）(x-y)＝4k－2为偶数
则x+y与x-y中必有一个为偶数
则x,y同为奇数或同为偶数，但这样一来，x+y与x-y均为偶数
则(x+y）(x-y)必为4的倍数，而4k-2不是4的倍数，矛盾。故假设不成立。
4k-2不属于M
（3）设a1＝(x1+y1)(x1-y1)
a2=(x2+y2)(x2-y2)
则a1a2＝(x1+y1)(x1-y1)(x2+y2)(x2-y2)
你自己乘一乘，把第一个括号和第三个括号相乘，第二与第四个相乘，可以发现，还是构成平方的形式，故结论是：积仍属于M
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