作业帮有一轴截面为正三角形的圆锥容器内放一个半径为r的内切球,然后将容器注满水,现把球从容器中取出,水不损耗,且取出球后水面与圆锥底面平行成一圆台体,则求圆锥中水的高度
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 06:24:37
有一轴截面为正三角形的圆锥容器内放一个半径为r的内切球,然后将容器注满水,现把球从容器中取出,水不损耗,且取出球后水面与圆锥底面平行成一圆台体,则求圆锥中水的高度
有一轴截面为正三角形的圆锥容器内放一个半径为r的内切球,然后将容器注满水,现把球从容器中取出,水不损耗,且取出球后水面与圆锥底面平行成一圆台体,则求圆锥中水的高度
有一轴截面为正三角形的圆锥容器内放一个半径为r的内切球,然后将容器注满水,现把球从容器中取出,水不损耗,且取出球后水面与圆锥底面平行成一圆台体,则求圆锥中水的高度
如图所示,内切圆r=√3/3.BD=√3/6.a ∴a=2√3r
圆锥高h=√3/2.a
∴圆锥容器V=1/3π(a/2)².h=1/12πa².(√3/2.a)
= √3π/24. a³=√3π/24.( 2√3r)³=3πr³
又内切球V³=4π/3.r³
∴圆锥内水体积=3πr³-4π/3.r³=5π/3.r³
取出球后,水的圆锥底边与高的关系： 2√3/3. h′= a′
∴水的高度h′=（5π/3.r³）/[1/3*π(a′/2)² ]
即h′=（5π/3.r³）/[π/3* (√3h′/3)² ]
解得: h′=³√45*r/3
圆锥底面半径r= ,
圆锥母线l=2r= ，圆锥高为h= =3R，
∴V水= •3R2•3R ，
球取出后，水形成一个圆台，下底面半径r= ,设上底面半径为r′，
则高h′=(r-r′)tan60°= ,
∴ (r2+r′2+rr′),∴5R3= ,
∴5R3= ，
解得r′= ,
∴h′=( )R.
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圆锥底面半径r= ,
圆锥母线l=2r= ，圆锥高为h= =3R，
∴V水= •3R2•3R ，
球取出后，水形成一个圆台，下底面半径r= ,设上底面半径为r′，
则高h′=(r-r′)tan60°= ,
∴ (r2+r′2+rr′),∴5R3= ,
∴5R3= ，
解得r′= ,
∴h′=( )R.
答：容器中水的高度为( )R.
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