线性代数的难题一道.已知A、B、C为三个n阶方阵,且r(A)=r(BA).求证:r(AC)=r(BAC)(这道题可能要用到向量空间的知识)

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/01 12:47:44

线性代数的难题一道.已知A、B、C为三个n阶方阵,且r(A)=r(BA).求证:r(AC)=r(BAC)(这道题可能要用到向量空间的知识)
线性代数的难题一道.
已知A、B、C为三个n阶方阵,且r(A)=r(BA).
求证:r(AC)=r(BAC)
(这道题可能要用到向量空间的知识)

线性代数的难题一道.已知A、B、C为三个n阶方阵,且r(A)=r(BA).求证:r(AC)=r(BAC)(这道题可能要用到向量空间的知识)
证明:由于A,B,C都为三个n阶方阵,且r(A)=r(BA)
A可以由m个线性无关的向量组成 m 由于BA所组成的向量空间是A中m个向量所组成空间的子空间
由r(A)=r(AB)知:
BA由A的m个线形无关的向量表示
故同理AC由k个线形无关的向量组成
BAC也可以由AC的k个线形无关的向量组成
故r(AC)=r(BAC)

因为R(A)=R(BA),因为R(A)>=R(BA),当且仅当R(B)=n时成立;∴ B为可逆矩阵;
同理 R(AC)>=R(BAC);且R(AC)=R(BAC).

A=BA
∴A=(BA)C=BAC
∴R(AC)=R(BAC)

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