证明:n个连续整数之积一定能被n!整除用高中能接受的

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/10 10:13:51

证明:n个连续整数之积一定能被n!整除用高中能接受的
证明:n个连续整数之积一定能被n!整除
用高中能接受的

证明:n个连续整数之积一定能被n!整除用高中能接受的
给一个算是说明吧：
首先排除n个连续整数中有正有负的情况,因为这时这n个整数中含0,整除是显然的；
那么以下就可以假设这n个整数都是正的,因为负的情况可以完全类似得出.
设m是任给一个正整数,那么题目就是m(m+1)...(m+n-1)/n!是一个整数,而这个数是以下问题的答案：从m+n-1个互不相同的东东中任取n个有多少种取法,显然是个整数.

这很容易吧：
设m为任一整数，则式：
(m+1)(m+2)...(m+n)
=(m+n)!/m!
=n!*[(m+n)!/(m!n!)]
而式中[(m+n)!/(m!n!)]恰为C(m+n,m),也即是从m+n中取出m的组合数，当然为整数。
所以(m+1)(m+2)...(m+n)一定能被n!整除。
即证。

楼上的说明是正确的，但是方法未免复杂
首先排除n个连续整数中有正有负的情况，因为这时这n个整数中含0，整除是显然的；
只要明白一点：连续N个整数，必有一个能被N整除，同样必有一个能被N-1整除。。。。。。故n个连续整数之积一定能被n!整除
这其实等同于N!能被自己整除一样...

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楼上的说明是正确的，但是方法未免复杂
首先排除n个连续整数中有正有负的情况，因为这时这n个整数中含0，整除是显然的；
只要明白一点：连续N个整数，必有一个能被N整除，同样必有一个能被N-1整除。。。。。。故n个连续整数之积一定能被n!整除
这其实等同于N!能被自己整除一样

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