作业帮一个微分方程的题目
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 21:58:58
一个微分方程的题目
一个微分方程的题目
一个微分方程的题目
这题太逆天了,终于给我算出来了.
先假设以下各种简化都满足：
令x=tan u,y=tan v ,u,v都是第一象限,简化
原式变为
(tanv-tanu)secu [sec^2 v dv]/[sec^2 u du]=(secv)^3
移项简化后得到
dv/du=(secu secv)/(tan v- tan u)
=1/(sinvcosu-sinucosv)
=1/sin(v-u)
下令t=v-u
dv/du=d(t+u)/du=dt/du+1
dt/du+1=1/ sin t
dt/du=(1-sint)/sint
sintdt/(1-sint)=du
两边积分
然后两边积分,左边换元
s=tan(t/2)
ds=sec^2(t/2)(1/2)dt
=(1+s^2)(1/2)dt
dt=2ds/(1+s^2)
sint/(1-sint)
=2sin(t/2)cos(t/2)/[sin^2(t/2)+cos^2(t/2)-2sin(t/2)cos(t/2)]
=2sin(t/2)cos(t/2)/(sin(t/2)-cos(t/2))^2
=2tan(t/2)/(tan(t/2)-1)^2
=2s/(s-1)^2
原左边积分
=∫2sds/[(s-1)^2(s^2+1)]
=∫[1/(s-1)^2-1/(1+s^2)]ds
=-1/(s-1)-arctan s
=-1/(tan(t/2)-1)-arctan(tan(t/2))
=t/2-1/(tan(t/2)-1)
=(v-u)/2-1/(tan[(v-u)/2]-1)
所以
v=(v-u)/2-1/(tan[(v-u)/2]-1)+C
(v+u)/2+1/(tan[(v-u)/2]-1)=C
arctanx+arctany+2/(tan[(arctany-arctanx)/2]-1)=C