三棱锥的三组相对的棱分别相等,且长度各为根号2、m、n,其中m^2+n^2=6,则该三棱锥体积的最大值为?

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 23:29:58

三棱锥的三组相对的棱分别相等,且长度各为根号2、m、n,其中m^2+n^2=6,则该三棱锥体积的最大值为?
三棱锥的三组相对的棱分别相等,且长度各为根号2、m、n,其中m^2+n^2=6,则该三棱锥体积的最大值为?

三棱锥的三组相对的棱分别相等,且长度各为根号2、m、n,其中m^2+n^2=6,则该三棱锥体积的最大值为?
三棱锥P-ABC中,PA=BC=m,PB=CA=n,PC=AB=√2,四个面都是全等三角形
过P分别向△ABC的三条边引垂线,交AB于E,交BC于F,交CA于G；过P作三棱锥P-ABC的高PO,O是P在底面的投影
由于:PE⊥AB,PO⊥AB
AB ⊥平面PEO
OE⊥AB,同理：OF⊥BC,OG⊥CA
所以：O也是△ABC的垂心.
令S△ABC=S
m²+n²-2mn*cosC=√2²
cosC=(m²+n²-√2²)/(2mn) = 2/(mn)
sinC= √(m²n²-4) /mn
S=1/2*mn*sinC = 1/2*√(m²n²-4) ,mn≤(m²+n²)/2=3
S≤√5/2
PE=CE=2S/AB,AB=PC=√2
PE=CE=2S/√2=√2S
(PE+CE+PC)/2= (4S²/√2 +√2)/2 = √2 S²+√2/2
S△PEC =√(4S-1) 海伦公式
PO = 2S△PEC / CE =√(4S²-1) /√2S
V(P-ABC) =1/3*S△ABC*PO
=1/3*S*√(4S²-1) /√2S
= √2/3*√(4S²-1)
≤√2/3*√[4(√5/2)²-1]=2√2 /3



答：三棱锥体积的最大值为1.

三棱锥的三组相对的棱分别相等,且长度各为根号2、m、n,其中m^2+n^2=6,则该三棱锥体积的最大值为? 三棱锥的三组相对的棱分别相等,且长度各为根号2,m,n,其中m^2+n^2=6,则该三棱锥体积最大值为多少 一个三棱锥的四个顶点在同一个球面上,三组对棱分别相等,长度分别为根号3,2,根号5,则球的表面积为 已知三棱锥P-ABC的每组相对的两条棱相等,棱长分别为5,6,7.球三棱锥的体积·~请用割补法做， 一个三棱锥相对两条棱长相等,长度分别为,根号5,根号10,根号13,则三棱锥外接球体积为? 已知三棱锥PABC的三条侧棱两两垂直,且它们的长度分别为3,3,4,则三棱锥的体积为 已知棱长相等的三棱锥的体积为三分之二倍根号三,则这个三棱锥的表面积为 一个三棱锥S-ABC的三条侧棱SA、SB、SC两两垂直,且长度分别为4,2,2,则这个三棱锥的外接球的表面积为? 已知三棱锥P-ABC的3条侧棱两两垂直,且它们的长度分别为a,b,c,则该三棱锥的体积为RT 若三棱锥的三条侧棱互相垂直 且长度分别为1,2,2 则其外接球的表面积为 一个三棱锥SABC三条侧棱SA、SB、SC两两互相垂直,且长度分别为1,根6,3,则这个三棱锥的外接球表面积为 已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA PB PC两两垂直,且长度分别为3 4 5 ,求三棱锥外接球的表面积和体积 已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA,PB,PC两两互相垂直且长度分别为abc,是求该三棱锥外接球的表面积. 已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA,PB,PC两两互相垂直,且长度分别为a,b,c,球该三棱锥外接球的表面积 已知三棱锥PABC的三条侧棱PA,PB,PC两两互相垂直且长度分别为a,b,c,试求该三棱锥外接圆的表面积 三棱锥P-ABC的三条侧棱PA,PB,PC两两互相垂直,且长度分别为3,4,5,则三棱锥P-ABC外接球的表面积是什么 三棱锥O-ABC的侧棱OA,OB,OC两两垂直且长度分别为2,2,1,则其外接球的表面积是 长方体有几组相对的棱长度相等