已知f(x)=3^2x-(k+1)*3^x+2,当X属于R时,f(x)恒为正,则K的范围

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/06 08:34:40

已知f(x)=3^2x-(k+1)*3^x+2,当X属于R时,f(x)恒为正,则K的范围
已知f(x)=3^2x-(k+1)*3^x+2,当X属于R时,f(x)恒为正,则K的范围

已知f(x)=3^2x-(k+1)*3^x+2,当X属于R时,f(x)恒为正,则K的范围
令t = 3^x,则t>0,
那么f(x) = t² - (k + 1)t + 2
要当X属于R时,f(x)恒为正
则t² - (k + 1)t + 2>0恒成立,
即:t² + 2>(k +1)t
∴(t² + 2)/t > k + 1
故k < t + 2/t - 1
对于t + 2/t而言,
当t = 根号2时,t + 2/t 有最小值2倍二根号
而当k小于 t + 2/t - 1的最小值时,原式恒成立,
∴k <2倍二根号 - 1

记3^x=t(t>0),
则t^2-(k+1)*t+2>0
即t^2+2>(k+1)*t
即t+2/t>k+1
即t+2/t-1>k (其中t>0),
因为t+2/t-1≥2(t*(2/t))^2-1=2(2^(1/2))-1
k<2(2^(1/2))-1

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