作业帮一道四棱锥题a四棱锥P-ABCD中,底面为一直角梯形,其中AB平行于CD,BA垂直于AD,侧面PAD垂直于底面ABCD.若AB=2,CD=4,侧面PBC是一边长等于10的正三角形,求对角线AC与侧面PCD所成角的正弦值.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/02 00:54:38
一道四棱锥题a四棱锥P-ABCD中,底面为一直角梯形,其中AB平行于CD,BA垂直于AD,侧面PAD垂直于底面ABCD.若AB=2,CD=4,侧面PBC是一边长等于10的正三角形,求对角线AC与侧面PCD所成角的正弦值.
一道四棱锥题a
四棱锥P-ABCD中,底面为一直角梯形,其中AB平行于CD,BA垂直于AD,侧面PAD垂直于底面ABCD.若AB=2,CD=4,侧面PBC是一边长等于10的正三角形,求对角线AC与侧面PCD所成角的正弦值.
一道四棱锥题a四棱锥P-ABCD中,底面为一直角梯形,其中AB平行于CD,BA垂直于AD,侧面PAD垂直于底面ABCD.若AB=2,CD=4,侧面PBC是一边长等于10的正三角形,求对角线AC与侧面PCD所成角的正弦值.
做BE⊥CD,-->AD=BE=√(BC^2-CE^2)=
=[10^2-(4-2)^2]^(1/2)=√96=4*√6
在△ACD中,AD垂直于DC(已知),-->
AC=√(CD^2+AD^2)=√(4^2+96)=√112=4*√7
在△PAB中,A垂直于AB(三垂定理),-->
PA=√(PB^2-AB^2)=√(10^2-2^2)=√96=4*√6
在△PCD中,PC⊥DC,PC=10,CD=4,-->
PD=√84=2*√21
做AH⊥PD,在△PAD中,
PA=√96=4*√6,AD=√96=4*√6,PD=√84=2*√21,PA=AD,AH是高,-->
PH=HD=PD/2=√21,
AH^2=PA^2-PH^2即AH^2=96-21=75-->
AH=√75
在△CAH中,AH⊥CH,AH=√75=5*√3,AC=4*√7
所以,对角线AC与侧面PCD所成角的正弦值=AH/AC=
=AH/AC=(5*√3)/(4*√7)=
=(5*√21)/28