作业帮f(x)= 根号下(x+2)减去2倍根号下（x+1）加根号下x,g(x)=a/ （x的k次幂）,求k、a使当x趋近于无穷时,f(x) 是g(x)的等价无穷小
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 00:52:17
f(x)= 根号下(x+2)减去2倍根号下（x+1）加根号下x,g(x)=a/ （x的k次幂）,求k、a使当x趋近于无穷时,f(x) 是g(x)的等价无穷小
f(x)= 根号下(x+2)减去2倍根号下（x+1）加根号下x,g(x)=a/ （x的k次幂）,求k、a使当x趋近于无穷时,f(x) 是g(x)的等价无穷小
f(x)= 根号下(x+2)减去2倍根号下（x+1）加根号下x,g(x)=a/ （x的k次幂）,求k、a使当x趋近于无穷时,f(x) 是g(x)的等价无穷小
对f(x)进行变换：
f(x)=（√x+2-√x+1）-(√x+1-√x)=1/(√x+2+√x+1)-1/(√x+1+√x)
=-(√x+2-√x)/[(√x+2+√x+1)*(√x+1+√x)]
=-2/[(√x+2+√x+1)*(√x+1*√x)*(√x+2+√x)]
而g(x)=a/（x^k),用f(x)/g(x),得：
f(x)/g(x)=(-2/a)*[(x^k)/(√x+2+√x+1)*(√x+2+√x)*(√x+1+√x)]
分子分母同时一个（x^(-3/2)）可得：
f(x)/g(x)=(-2/a)*{[x^(k-3/2)]/[√(1+2/x)+(1+1/x)]*[√(1+2/x)+1]*[√(1+1/x)+1]} ①
此时观察此式,去除常数系数（-2/a）不考虑,分母的情况是,当x趋近于无穷大时,很显然此时分母存在极限,其值为（1+1）*（1+1）*（1+1）=8,为不等于0的常数,而题设要求f(x)是g(x)的等价无穷小,也就是说,f(x)/g(x)在x趋近无穷的时候极限等于1,很明显,要想满足这个条件,①式中的分子项必须在x趋近于无穷时极限也为8（算上常数系数）,而若想让x^(k-3/2）这个关于x的幂函数项在x趋近于无穷时存在极限,且不等于0,无疑必须使得k-3/2=0.k=3/2
此时有（-2/a）=8,a=-1/4
所以k=3/2,a=-1/4
g(x)当x趋于无穷时 是无穷小
你的f(x)可不是!! 核实一下题目