求级数的收敛区间∑(1到无穷) * 2^(-nx) / n^n 尤其是端点处的情况,..

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/01 18:53:58

求级数的收敛区间∑(1到无穷) * 2^(-nx) / n^n 尤其是端点处的情况,..
求级数的收敛区间
∑(1到无穷) * 2^(-nx) / n^n
尤其是端点处的情况,..

求级数的收敛区间∑(1到无穷) * 2^(-nx) / n^n 尤其是端点处的情况,..
用比值判别法(ratio test)
令an=n! * 2^(-nx) / n^n
a(n+1)/an=(n+1)2^(-x)*n^n/(n+1)^(n+1)
=2^(-x)*n^n/(n+1)^n
=2^(-x)*[n/(n+1)]^n
取极限=2^(-x){[1-1/(n+1)]^[(n+1)]}^(n/(n+1))
=2^(-x)[e^(-1)]^1
=1/(e*2^x)1/e
x>log 2 1/e= -1/ln2,收敛
当x=-1/ln2时,2^(-x)=e
an=n!(e^n)/(n^n)
因为n->无穷时
n!等价于(n/e)^n * 根号(2πn)
所以代入后得到
an~根号(2πn)
所以limn->无穷 an≠0
所以级数不收敛
所以收敛域只有
(-1/ln2,∞)