作业帮关于三阶无穷小,当X趋向0时,f(x)=e^2x-(1+ax)/(1+bx)为x的三阶无穷小 求a和b ,
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 05:12:47
关于三阶无穷小,当X趋向0时,f(x)=e^2x-(1+ax)/(1+bx)为x的三阶无穷小 求a和b ,
关于三阶无穷小,
当X趋向0时,f(x)=e^2x-(1+ax)/(1+bx)为x的三阶无穷小 求a和b ,
关于三阶无穷小,当X趋向0时,f(x)=e^2x-(1+ax)/(1+bx)为x的三阶无穷小 求a和b ,
将e^2x展开成幂级数得：
e^2x=1+2x+2x²+(8/3)x³+o(x³)
故只需(1+ax)/(1+bx)=1+2x+2x²+kx³+o(x³)且k≠8/3,f(x)即可符合题目要求.
去分母得 1+ax=(1+bx)[1+2x+2x²+kx³+o(x³)]
=1+(2+b)x+2(1+b)x²+(2b+k)x³+o(x³)
对比两边x²项系数得：b=-1；
对比两边x项系数,并注意到b=-1得：a=1
对比两边x³项系数得：k=-2≠(8/3)
所以 a=1,b=-1即为所求.
在x=0的领域作Taylor Expansion:
e^x=1+x+(1/2)x^2+ (1/6)x^3+...
1/(1+x)=1-x+x^{2}-x^{3}+...
要使得f(x)为x的三阶无穷小. 即是 f(x) 的 taylor expansion 正比于 x^{3}
f( x)=(1+2x+2x^{2}+(4/3)x^{3}+...)-(1+ax)(1-b...
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在x=0的领域作Taylor Expansion:
e^x=1+x+(1/2)x^2+ (1/6)x^3+...
1/(1+x)=1-x+x^{2}-x^{3}+...
要使得f(x)为x的三阶无穷小. 即是 f(x) 的 taylor expansion 正比于 x^{3}
f( x)=(1+2x+2x^{2}+(4/3)x^{3}+...)-(1+ax)(1-bx+b^{2}x^{2}-b^{3}x^{3}+...)
=(1-1)+(2-a+b)x+(2+ab-b^2)x^2+(4/3-ab^2+b^3)x^{3}
所以, 2-a+b=0, 2+ab-b^{2}=0.
解之得: a=1, b=-1
检验: 代入得到 当x--->0 时, f( x)--->(-2/3)x^3
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