作业帮证明：n的n次幂大于n+1的n-1次幂 n>1
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/01 09:28:07
证明：n的n次幂大于n+1的n-1次幂 n>1
证明：n的n次幂大于n+1的n-1次幂 n>1
证明：n的n次幂大于n+1的n-1次幂 n>1
(n+1)^(n-1) / n^n 可以化为
（1+1/n)^n / (n+1)
所以需要证明
（1+1/n)^n < (n+1) 即可
而（1+1/n）^n =1 + n*(1/n)+( n(n-1)/2!) /n^2 + (n(n-1)(n-2)/3!)/n^3 + ……
从中可以看出和式共有n+1项,除第一项为1 后面各项的值都小于1
所以 （1+1/n)^n < (n+1) 成立
因此得证
由于表达式不好写,所以写起来比较复杂,需要你仔细看看.
用归纳法很简单的。如n=2时，
2的2次=2*2，3的1次为3*1
慢慢推
(n+1)^(n-1)/n^n
=((n+1)/n)^(n-1)*(1/n)
=(1+(1/n))^(n-1)*(1/n)
<1^(n-1)*(1/n)
=1/n
<=1
所以(n+1)^(n-1)/n^n，也就是(n+1)^(n-1)
1、（n的n次幂） 除以 （n+1的n-1次幂）的在 X——〉无穷的时候极限是1
2、2的2次幂大于2+1的2-1次幂
3、（x的x次幂） 除以 （x+1的x-1次幂）在 X——〉无穷的时候单调（用导数可以证明）
所以可以证明：n的n次幂大于n+1的n-1次幂 n>1
根据二项式定理，有
[1+(1/n)]^n
=1+n*(1/n)+[n*(n-1)/(2!)]*[(1/n)^2]+...+[n*...*1/(n!)]*[((1/n)^n]
=1+1+[n*(n-1)/(2!)]*[(1/n)^2]+...+[n*...*1/(n!)]*[(1/n)^n]
而对任意2
全部展开
根据二项式定理，有
[1+(1/n)]^n
=1+n*(1/n)+[n*(n-1)/(2!)]*[(1/n)^2]+...+[n*...*1/(n!)]*[((1/n)^n]
=1+1+[n*(n-1)/(2!)]*[(1/n)^2]+...+[n*...*1/(n!)]*[(1/n)^n]
而对任意2
<1+1+(n^2)*[(1/n)^2]+...+(n^n)*[(1/n)^n]
=1+1+1+...+1=n
即[(n+1)/n]^n
因为[(n+1)^n]/n>[(n+1)^n]/(n+1)=(n+1)^(n-1)
所以有(n+1)^(n-1)
收起