A、B、C三点在同一直线上,分别以AB、AC为边,在AC同侧作等边△ABD和等边△BCE,AE交BD于点F,DC交BE于点G,则AE=DC,BF=BG吗?说明理由.（2）若A、B、C不在同一直线上,那么这时上述结论成立吗?请证明.

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/30 10:30:19

A、B、C三点在同一直线上,分别以AB、AC为边,在AC同侧作等边△ABD和等边△BCE,AE交BD于点F,DC交BE于点G,则AE=DC,BF=BG吗?说明理由.（2）若A、B、C不在同一直线上,那么这时上述结论成立吗?请证明.
A、B、C三点在同一直线上,分别以AB、AC为边,在AC同侧作等边△ABD和等边△BCE,AE交BD于点F,DC交BE于点G,则AE=DC,BF=BG吗?说明理由.（2）若A、B、C不在同一直线上,那么这时上述结论成立吗?请证明.

A、B、C三点在同一直线上,分别以AB、AC为边,在AC同侧作等边△ABD和等边△BCE,AE交BD于点F,DC交BE于点G,则AE=DC,BF=BG吗?说明理由.（2）若A、B、C不在同一直线上,那么这时上述结论成立吗?请证明.
AE=DC,BF=BG．理由如下：
（1）因为△ABD,△BCE是等边三角形,
∴AB=DB,EB=BC,∠ABD+∠EBD=∠EBC+EBD,
故△ABE≌△DBC（SAS）；
所以AE=DC,∠BAE=∠BDC,
AB=BD,
∠ABD=∠DBE=60°
∴△ABF≌△DBG,
∴BF=BG．
（2）AE=DC仍成立,
而BF=BG不成立．AE=DC,但BF≠BG．
理由（1）AE=DC．
∵△ABD和等边△BCE,
∴AB=BD,BC=BE,∠ABD=∠CBE=60°,
∴∠ABD+∠DBE=∠CBE+∠DBE,
即∠ABE=∠CBD,
∴△ABE≌△DBC（SAS）．
∴AE=DC（全等三角形对应边相等）,
∠BAE=∠BDC（全等三角形对应角相等）．
（2）BF≠BG．
理由：若BG=BF,由（1）可知△ABE≌△DBC,
∴∠BAF=∠BDG,
又AB=DB
则△ABF与△DBG有两边和一边的对角对应相等．
∴∠ABF=∠DBG或∠ABG+∠DBG=180°（不合题意,舍去）
∴△ABF≌△DBG（SAS）．
∴∠ABF=∠DBG=60°（全等三角形对应角相等）．
∴∠ABF=∠DBG=60°=∠CBE,
所以A、B、C在同一条直线上,这与题意A、B、C不在同一直线上矛盾,
∴BF≠BG．