用数学归纳法证明（n+1）(n+2)…(n+n)=2^n*1*3*…*(2n-1)时,从n=k到n=k+1,左边需增乘的代数式是?希望能有详细的过程!

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/16 19:46:01

用数学归纳法证明（n+1）(n+2)…(n+n)=2^n*1*3*…*(2n-1)时,从n=k到n=k+1,左边需增乘的代数式是?希望能有详细的过程!
用数学归纳法证明（n+1）(n+2)…(n+n)=2^n*1*3*…*(2n-1)时,从n=k到n=k+1,左边需增乘的代数式是?
希望能有详细的过程!

用数学归纳法证明（n+1）(n+2)…(n+n)=2^n*1*3*…*(2n-1)时,从n=k到n=k+1,左边需增乘的代数式是?希望能有详细的过程!
<1>把n=1代入式子左右侧,左边=（1+1）=2,右边=2^1*1=2,左边=右边,所以n=1的时候式子成立.
<2>假设n=k的时候式子成立,则
n=k:
(k+1)(k+2)…(k+k)=2^k*1*3*…*(2k-1)
(已知)
n=k+1:
(k+1+1)(k+1+2)…(k+1+k-1)(k+1+k)(k+k+2)=2^(k+1)*1*3*…*(2k-1)(2k+1)
(求证目标)
观察可得,左边增乘代数式为((k+1+1)(k+1+2)…(k+1+k-1)(k+1+k)(k+k
+2))/((k+1)(k+2)……(k+k))=(2*k+2)(2*k+1)/(k+1)=2*(2k+1)
∴(k+1)(k+2)…(k+k)*2*(2k+1)=2^k*1*3*…*(2k-1)*2*(2k+1)
(k+1+1)(k+1+2)…(k+1+k-1)(k+1+k)(k+k+2)=2^(k+1)*1*3*…*(2k-1)(2k+1)
∴对于任意的整数k>=1,若有n=k使等式成立均有n=k+1使等式成立
综合<1><2>,可以得出对于任意的整数n>=1,都有（n+1）(n+2)…(n+n)=2^n*1*3*…*(2n-1)

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